第二节 中心极限定理(概率论与数理统计)

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1、5.2中心极限定理定理5:(独立同分布的中心极限定理)设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立,服从同一分布,且具有数学期望和方差，E(Xk)=,D(Xk)=20(k=1,2,…).则随机变量的分布函数Fn(x),对于任意x,有中心极限定理的意义在第二章曾讲过有许多随机现象服从正态分布若联系于此随机现象的随机变量为X，是由于许多彼次没有什么相依关系、对随机现象谁也不能起突出影响，而均匀地起到微小作用的随机因素共同作用则它可被看成为许多相互独立的起微小作用的因素Xk的总和，而这个总和服从或近似服从正态分布.(即这些因素的叠加)的结果.对此现象还可举个有

2、趣的例子——高尔顿钉板试验——加以说明.03—钉子层数中心极限定理的应用例1炮火轰击敌方防御工事100次,每次轰击命中的炮弹数服从同一分布,其数学期望为2,均方差为1.5.若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的,求100次轰击(1)至少命中180发炮弹的概率;(2)命中的炮弹数不到200发的概率.解设Xk表示第k次轰击命中的炮弹数相互独立，设X表示100次轰击命中的炮弹数,则由独立同分布中心极限定理,有(1)(2)例2售报员在报摊上卖报,已知每个过路人在报摊上买报的概率为1/3.令X是出售了100份报时过路人的数目，求P(280X320).解令Xi为售出了第

3、i–1份报纸后到售出第i份报纸时的过路人数,i=1,2,…,100(几何分布)相互独立,由独立同分布中心极限定理,有例3检验员逐个检查某产品,每查一个需用10秒钟.但有的产品需重复检查一次，再用去10秒钟.若产品需重复检查的概率为0.5,求检验员在8小时内检查的产品多于1900个的概率.解若在8小时内检查的产品多于1900个,即检查1900个产品所用的时间小于8小时.设X为检查1900个产品所用的时间(秒)设Xk为检查第k个产品所用的时间(单位：秒),k=1,2,…,1900XkP10200.50.5相互独立同分布,(德莫佛-拉普拉斯定理)设随机变量服从参数

4、为n,p(0

5、00粒种子中的良种数,X~B(6000,1/6)近似由德莫佛—拉普拉斯中心极限定理,则有比较几个近似计算的结果中心极限定理二项分布(精确结果)Poisson分布Chebyshev不等式例2设每次试验中，事件A发生的概率为0.75,试用中心极限定理估计,n多大时,才能在n次独立重复试验中,事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率大于0.90?解设X表示n次独立重复试验中事件A发生的次数,则X~B(n,0.75)要使，求n问题由德莫佛-拉普拉斯定理由此可得查表可得由此解得(李雅普诺夫定理)设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立,它们具有数学期望和方差:

6、定理7:例6某保险公司有10000个同龄又同阶层的人参加人寿保险，已知该类人在一年内死亡的概率为0.006，每个参加保险的人在年初付12元保险费，而在死亡时家属可向公司领得1000元。问在此项业务活动中：保险公司亏本的概率是多少？保险公司获得利润不少于40000元的概率是多少？解：设这10000人中一年内死亡的人数为X，则X~b(10000,0.006)每年死亡人数超过120人时公司才会亏本，当每年死亡保险公司一年收取10000×12=120000元保险费，故仅当P{X>120}=1-人数不超过80人时公司获利不少于40000元。由此可知，所求的概率分别为P

7、{X>120}及