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1、空间向量解几何问题的几类常见题型河南省三门峡市卢氏一高老校区数学组（472200）赵建文空间向量是高中数学中的重要内容之一，是处理空间线线、线面、面面垂直与平行及其夹角的重要工具，是高考考查的重要内容之一.本文将空间向量解几何问题的几类常见题型作以解析，供同学们学习时参考.一、利用空间向量证明空间垂直问题例1在直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BDF⊥平面ABCD.分析：本题坐标系易建立，用向量法.证明：∵ABCD为正方形，∴⊥AB，∵二面
2、角D—AB—E为直二面角，∴BC⊥面AEB，以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，如图建立空间直角坐标系O—xyz，则A(0，－1，0)，B(0,1,0)，C(0,1,2)，D(0,－1,2),设E(，0,0)（＞0），∵F为CE上的点，=(－,1,2),∴设==(,，)，∴F（，，），∴=(,,),=(0,2,2),=(,1,0),∵BF⊥平面ACE，∴==0且==0,解得，=1，=，∴E（1,0,0），F(，，)，（Ⅰ）=（1,1,0），=（－1,1，0）,∴=0,∴AE⊥BE,∵BC⊥面AEB
3、,∴BC⊥AE,∴AE⊥平面BCE;（Ⅱ）面ABCD的法向量为=（1，0,0），设面BFD的法向量为=（，，），=(,－,),=（0，－2，2），∴==0且==0，取=1，则=1，=0，∴=(0，1，1)，∴=0，∴平面BDF⊥平面ABCD【点评】对坐标系易建立的空间垂直判定（证明）问题，常用向量法，对线面垂直问题，通过证明所证直线的方向向量的数量积为0来证；对线面垂直问题，先求出平面的法向量和直线的方向向量，证明平面法向量与直线的方向向量平行或者直接用向量法证明直线与平面内两条相交直线垂直，再用线面垂直判定定理证明；对面面垂直问题，先求出两个平面的法向量
4、，通过证明这两个平面的法向量垂直，来证面面垂直.二、利用空间向量处理空间平行关系例2在三棱柱中，侧棱垂直于底面，在底面ABC中=,D是BC上一点，且∥面，为的中点，求证：面∥面.分析：本题的坐标系容易建立，可用向量法.解析：以B点为原点，如图建立坐标系，设AB=，BC=，=，则A（,0,0），(0，，)，(0,0,)，(，0，)，∴(0，，)，设D(0，，0)（0≤≤），∴=(－，，0)，=(－，，)，=(，0，)，=（0，，），设面的法向量为=(，，)，则==0且==0，取=，则=，=，则=（，，），又∵∥面，∴==0，解得=，∴=（，，），设面的法向量
5、为=(,,),则==0且==0，取=1，则=，=，则=(，，1)，∴=，∴∥，∴面∥面.点评：对于易建立坐标系的线面平行问题的向量解法，有两种思路：（1）用共面向量定理，证明直线的方向向量能用平面内两条相交直线的方向向量表示出来，即这三个向量共线，根据共面向量概念和直线在平面外，可得线面平行；（2）求出平面法向量，然后证明法向量与直线的方向向量垂直即可.对于探索性问题，通常先假设成立，设出相关点的坐标，利用相关知识，列出关于坐标的方程，若方程有解，则存在，否则不存在.注意，（1）设点的坐标时，利用点在某线段上，设出点分线段所成的比，用比表示坐标可以减少未知
6、量，简化计算;(2)注意点的坐标的范围.对面面平行问题的向量方解法有两种思路，（1）利用向量证明一个面内两条相交直线分别与另一个平面平行，根据面面判定定理即得；（2）求出两个平面的法向量，证明这两个法向量平行，则这两个面就平行.一、利用空间向量处理异面直线夹角、线面角、二面角等空间角问题例3在四棱锥中，，∥，⊥底面，，直线与底面成60°角，点分别是、的中点.（1）求异面直线DN与BC的夹角的余弦值；（2）求直线PA与面PBC所成的角正弦值；（3）求二面角P－NC-D的大小的余弦值.分析：本题坐标系易建立，用坐标法.解析：以D为原点，向量,,的方向分别为，，
7、轴的正方向，建立坐标系，设AD=1，则AB==2，∵⊥底面，∴∠PAD为直线PA与面ABCD所成的角，∴∠PAD=，∴PD=，∴D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),P(0,0,),M(,0,),N(,1,)，(1)=(，1，)，=(－1,0，0)，∴异面直线DN与BC的夹角的余弦值为==.（2）=(1，0，－)，=(1，2，－)，设面PBC的法向量为=（，，），直线PA与面PBC所成的角为，则==0且=－=0,取=2，则=0，=，∴=(0,2,)，∴==.(3)由（2）知面PBC的法向量为=(0,2,)，设面CDN的法向
8、量为=（,,）,∵=(，1，),=(0,2,0)，=（0，0，）,
