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《用空间向量解立体几何中几类典型问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、27TT11(3)求点到平面的距离：设分别以平而外一点P与平而内一点M(平而内异于•垂足的任一点)为起点和终点的向量为°,平而立体几何中几类典型问题的向量解法空间向最的引入为求立体儿何的空间角和距离问题、证线面平行与乖肓以及解决立体儿何的探索性试题捉供了简便、快速的解法。它的实用性是其它方法无法比拟的，因此应加强运用向量方法解决几何问题的意识，捉高使用向量的熟练程度和□觉性，注意培养向量的代数运算推理能力，掌握向量的基木知识和技能，充分利用向量知识解决图形中的角和距离、平行与垂直问题。一、利用向量知识求点到点，点到线，点
2、到面，线到线，线到面，面到面的距离若丘丄乳则和肱的法向量若厉丄平面Q,贝畅叫平面Q的法向量(1)点到点的距离：求两点之间距离，可转化求向量西的模。(2)点到线的距离:如图，E为面a外任意的一点，F为a内任意一点，丘为的法向量，贝lj,E到平面的距H•EF离为d=n例1、如图，ABCD为边长为4的」E方形，GC丄平面ABCD,GC=2,E>F分別是AD、AB的屮点，求点B到平面EFG的距离.解析：如图建立空间直角坐标系，贝【J：A(4,4,0),B(0,4,0),D(4,0.0),E(4,2,0),F(2,4,0),G(0
3、,0,2)。设平面EFG的一个法向量为(x,y,z),则：rH•EF=(x,y,z)>(-2,2,0)=0fx=yLh•GF=(x,y,z)•(2,4-2)=0l=・・"=(yj3y)令冃>(1,1,3)H・BF・•・点3到平面EFG的距离〃二一-—n例2•如图，ABCD是边长为4的正方形，GC面ABCD，GC二2,E、F分别是AD、AB的中点,求点B到平面EFG的距离。解析：如图，建立空间直角坐标系，则G(0,0,2),B(0,4,0),A(4,D(40,0),E(4,2,0),F(2,4,0)GE二(4,2,-2)■
4、GF二(2.4,-2)■GB二(0,4,-2)设力(x,y,z)是平面EFG的一个法向量•••ft・GE=4x+2y-2z=0•••ft・GF=2x+4y-2z=o•••可取/?=(1,1,3)GBn2VH11又如:如图15,已知正四棱柱ABCD—A1B1C1DI的底面边长为4,A】A=6,Q为BB】的中点,PGDD】，MGA^pNGA,M=1,D
5、N二3,若P为DD
6、的中点，求三棱锥Q—PMN的体积。解法：建立如图15的直角坐标系，则有p(0,0,3),M(4,I,0),N(0,3,o),PM=(4J-3),P7V二(
7、0,3,—3),MTV=(-42°)
8、~PM
9、=J16+1+9=V26ITn=JO+9+9=V18,IMN1=J16+4+0=2V5cos〈PM,PN〉=PM・PN3+92~PM^~PNV26>3V2V13XD图15=-
10、PAT
11、x
12、PN
13、xsinZA/P7V=-xV26xVi8x-^==922V13乂PQ=(4,4,0),设平面PMN的法向量为刃二(x,y,则由卜呼。n•PN-04%+y-3z=03y-3z=0Dy=z=2x,不妨取(1,2,2),”~PQ^n
14、4+8
15、则Q到平面PMN的距离h=—二——=
16、/=4Jl+4+4Vq_pmn=~xS^mnxh=—x9x4=12(4)求两条异面直线间距离：可设异面右线厶，厶的法向量为斤，C,D分别是Zp/2±的任意两点,ifCD则/(,l2Z间距离d=n例3.如图，己知ABCD是正方形，PD丄面ABCD,PD=AB=LE>E分别是PB、PD中点，求异面直线AF与CE间的距离。解析：如图建立空间直角坐标系，贝IJ：A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,/I1-"八1、齐/「I、1,o)»p(0,0’1),e(—f(0,0,：)AE=2222222—*•1CF=(0-1,
17、-),又设AE,cf的公垂线的方向向量为五二(x,y,z),2则：二(3y,y,2y)(3,1,2)n•AE=——兀+―y+—z=0222—*1h>CF=-v+-z=02一一h・ef・•・AE与CH可的距离d二一-—n例4：如图，在长方体ABCD-A^B^D,中，AB=4,BC=3,CC
18、=2,求平面A}BC}与平面ACQ的距离。解：・・・BC]//A°,A9u平面ACD,：・BCJJ平面ACD},同理入8〃平面ACQ,乂•••AB=4.BC=3,CC,=2,ABDBG=B,・••平面A]BC]//平而ACD「建立直角
19、坐标系D-xyz,A(3,0,2),B(3,4,0)C(0,4,2)・•・人B=(0,4,-2),BC}=(-3,0,2)，设n=(x,y,z)为平面A}BC
20、的法向量，则〃丄人〃=>人〃=0,=>4y—2z=0,由〃丄BC]=>n•BC}=0—3x+2z=0,12-21不妨设z=1,・・.y=—山=一；〃=(一,一
