立体几何中向量方法

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1、立体几何中的向量方法——利用空间向量求空间角教学目标1.使学生学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法；2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.教学重点求解二面角的向量方法教学难点二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系教学过程一、复习引入1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；

2、（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形）2．向量的有关知识：（1）两向量数量积的定义：abO（2）两向量夹角公式：（3）平面的法向量：与平面垂直的向量二、知识讲解与典例分析知识点1：面直线所成的角（范围：）（1）定义：过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a´与b´，那么直线a´与b´所成的锐角或直角，叫做异面直线a与b所成的角.（2）用向量法求异面直线所成角设两异面直线a、b的方向向量分别为和，问题1：当与的夹角不大于90°时，异面直线a、b所成的角与和的夹角的关系？问题2：与的夹角大于90°时，，异面直线a、b所成的角与和

3、的夹角的关系？结论：异面直线a、b所成的角的余弦值为思考：在正方体中，若与分别为、的四等分点，求异面直线与的夹角余弦值？（1）方法总结：①几何法；②向量法（2）与相等吗？（3）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？ABCA1B1C1xyZD例1如图，正三棱柱的底面边长为,侧棱长为，求和所成的角.解法步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。解：如图建立空间直角坐标系，则，即和所成的角为练习1：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，现将△AOB沿着平面AOB的法向量方向平移到△A1O1B1的位置，已知OA=OB=OO1，取A1B1

4、、A1O1的中点D1、F1，求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。解：以点O为坐标原点建立空间直角坐标系，并设OA=1,则A(1,0,0)，B(0,1,0)，F1(,0,1)，D1(,,1)所以，异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值为知识点2、直线与平面所成的角（范围：）（图1）思考：设平面的法向量为，则与的关系？（图2）据图分析可得：结论：例2、如图，正三棱柱的底面边长为,侧棱长为，求和所成角的正弦值.分析：直线与平面所成的角步骤：1.求出平面的法向量2.求出直线的方向向量3.求以上两个向量的夹角，(锐角)其余角为所求角解：如图建立空间直角坐标系，则ABCA1

5、B1C1xyZD设平面的法向量为由取，和所成角的正弦值.练习：正方体的棱长为1，点、分别为、的中点.求直线与平面所成的角的正弦值.知识点3：二面角（范围：）DCBAl①方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角的大小为，其中.结论：例3、如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为a和b,CD的长为c,AB的长为d.求库底与水坝所成二面角的余弦值.解：如图根据向量的加法法则,于是，得设向量与的夹角为，就是库与水坝所成的二面角.因此所以

6、库底与水坝所成二面角的余弦值是②法向量法ll结论：或归纳：法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.例4、如图，是一直角梯形，，面，，，求面与面所成二面角的余弦值.解：如图建立空间直角坐标系，则易知面的法向量为设面的法向量为，则有，取，得，又方向朝面内，方向朝面外，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角即所求二面角的余弦值为.练习：正方体的棱长为1，点、分别为、的中点.求二面角的余弦值。解：由题意知，，则设平面的法向量为，则，取，得又平面的法向量为观察图形知，二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为三、课堂小结1．异面直线

7、所成的角：2．直线和平面所成的角：3．二面角：.五、布置作业