定积分换元积分法与分部积分法

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1、定积分的换元积分法与分部积分法教学目的：掌握定积分换元积分法与分部积分法难　　点：定积分换元条件的掌握重　　点：换元积分法与分部积分法由牛顿－莱布尼茨公式可知，定积分的计算归结为求被积函数的原函数．在上一章中，我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得，因此，换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的．1．定积分换元法定理假设(1)函数在区间上连续；(2)函数在区间上有连续且不变号的导数；(3)当在变化时，的值在上变化，且，则有　．　　　　　　　　　　　(1)本定理证明从略．在应用时必须注意变换应满足定理的条件，在改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积

2、分．例1计算．解令，则．当时，；当时，．于是．例2计算．aaOxy解令，则．当时，；当时，．故图5－8．显然，这个定积分的值就是圆在第一象限那部分的面积(图5－8)．例3计算．解法一令，则．当时，；当时，，于是．解法二也可以不明显地写出新变量，这样定积分的上、下限也不要改变．即．此例看出：定积分换元公式主要适用于第二类换元法，利用凑微分法换元不需要变换上、下限．例4计算．解注去绝对值时注意符号．===．例5计算．解设，则当时，；当时，．=．例6设在上连续，证明：(1)若为奇函数，则；(2)若为偶函数，则．证由于,对上式右端第一个积分作变换，有．故．(1)当为奇函数时，，故．(2)当为

3、偶函数时，，故．利用例6的结论能很方便地求出一些定积分的值．例如．．2．定积分的分部积分法设函数与均在区间上有连续的导数，由微分法则，可得．等式两边同时在区间上积分，有．(2)公式(2)称为定积分的分部积分公式，其中与是自变量的下限与上限．例7计算．解令，则．故．例8计算．解．例9计算．解====．例10计算．解．即注移项得．故．例11计算．解先用换元法，令，则．当时，；当时，．于是．再用分部积分法，得．小结：1．定积分换元积分定理：假设(1)函数在区间上连续；(2)函数在区间上有连续且不变号的导数；(3)当在变化时，的值在上变化，且．则有．2．定积分分部积分法：设函数与均在区间上有

4、连续的导数，则有．