2-3 分块矩阵及其运算

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1、矩阵及其运算第二章1第三节分块矩阵(Blockmatrix)及其运算分块矩阵的概念分块矩阵的运算问题与思考第二章矩阵概念及其运算2一、分块矩阵的概念将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多小矩阵,每个小矩阵称为A的一个子块.以这些子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.例如矩阵:记为其中3注:任一矩阵A有多种分块方法,较特殊的分块有:1)将矩阵A视为一个子块的分块矩阵;2)将矩阵A每一元素视为一个子块的分块矩阵;3)将矩阵A每一行视为子块的分块矩阵,记为:4)将矩阵A每一列视为子块的分块矩阵,记为:A行的记法可看作是列的转置4例如：5设矩阵A与B是同型矩阵,且分块方法也相

2、同:注:矩阵A与B有相同的分块法二、分块矩阵的运算1.分块矩阵的加法与数乘分块矩阵加法:数乘分块矩阵:6设矩阵A是m×p型矩阵,B是p×n型矩阵,它们分别分块如下:对A的列的分法与对B的行的分法完全一致!!!2.分块矩阵的乘法矩阵A与B的乘积AB:7设矩阵A分块如下:分块矩阵转置分两次进行:按一般元素矩阵转置后，每个子块矩阵再转置.3.分块矩阵的转置分块矩阵A的转置:8例1问矩阵B如何分块,才能与A右乘?并用其中的一种分块矩阵求AB？设矩阵若矩阵A分块为:矩阵B的行分法只要与A的列分法相同即可:解:9满足条件的B的分法共有八种.10取B分块如下11说明1):关于准

3、对角矩阵的结论:称矩阵为准对角矩阵当Ai(i=1,2,…，s）都是方阵时，①②12③当A1,A2,…,AS都是方阵,且时,A可逆类似地有：说明2）：做个笔记特别的：13例2设求解14思考题求矩阵A的逆矩阵,其中15答案由对角矩阵的结论可得:16设矩阵:则方程组分块矩阵的简单应用：说明3):简化线性方程组的记号可表为:17可表为:或A按行分块或A按列分块:18在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最基本,最重要的计算技巧与方法.(1)加法(2)数乘(3)乘法分块矩阵之间的运算分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似：同型矩阵，采同相同的分块法；数乘矩阵，需乘的每一个子

4、块；若与相乘，需的列的划分与的行的划分相一致.五、小结(4)转置19(5)分块对角阵的行列式与逆阵(6)两种特殊的分块法：按行分块与按列分块.20作业：习题2-32（2）P66921补充：矩阵秩的性质（教材70页）【性质2.9】设下面矩阵运算都是可行的,则22设A为n阶方阵,且3En+4A-4A2=O,则R(En+2A)+R(3En-2A)=n【例2】【证】由3En+4A-4A2=O得(En+2A)(3En-2A)=O再由性质2.9中(5)得：又由(En+2A)+(3En-2A)=4En及性质2.9中(3)得:综合两式结果得：证毕23