大数法则迷思

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1、大數法則的迷思陳祈嘉壹、前言一般人對於大數法則的認知為：同類型的風險單位越多，越能減少及分散保險公司本身的風險，進而降低保險公司清償能力不足的風險。但事實上，在某些情況下，承保件數的增加，不見得會降低保險公司破產的可能，全民健保就是一個很好的例子，本文的重點即在釐清大數法則的性質、探討大數法則應用上的限制，最後並提出補強的方式。貳、對大數法則的迷思（一）對大數法則的第一個迷思一般人對大數法則（或與其相關的中央極限定理〈CentralLimitTheorem,abbr.CLT〉）的認知為風險若n愈

2、大（或風險單位越多），保險公司的風險就愈小；換言之，即簽單的件數愈多，保險公司本身的經營愈趨穩定。在討論上述觀念是否有誤之前，首先要釐清的是，何為風險？對保險公司而言，風險有兩種定義方式：一種是保險事故發生的不確定性（定義一），另一種是指保險事故發生的可能性（定義二），事實上，這兩種觀念都有人採用，在本文為了避免定義上混淆，茲將定義一的風險稱之為風險發生與否的不確定性；將定義二的風險稱之為保險公司的破產的可能性，以玆區別。在了解風險之定義後，接者來看關於大數法則的定義：設有n個承保件數，Xi為獨

3、立隨機發生的保險事故，為Xi的期望值，為任意小的數且>0，下列公式就可以解釋大數法則之定義為：當n趨近於時，的機率就趨近於0簡單的說，當n增加時，實際損失結果將會非常接近於預期損失期望值。接著，我們好奇的是，當n增加時保險公司的風險會降低嗎？如果是定義一所謂的風險，答案是「會的」；如果指的是定義二的風險，亦即保險公司的破產的可能性，答案則是「不一定」。第二個答案會讓人有點意外，實際上，保險公司的破產機率要降低，所依靠的是保險公司財務能力的增強，而非n的增加；亦即當每個人所貢獻的保費需大於預期損失

4、的前提下，雖然每增加一被保險人就會增加一個額外的風險，但同時更會加強保險公司給付保險賠款的能力，才能降低保險公司的破產機率。為了更清楚了解爭議所在，茲舉一例子：假設一個意外險保險商品，其出險機率為0.05，保險費為NT$2,000，每一意外事故賠款金額為NT$20,000，假設保險公司只承接此業務時，其發生破產的機率如下：【圖表一】承保單位可以容忍的出險次數破產機率100.0500200.0975300.1426...900.36981010.08621110.1318...1910.24532

5、020.07542120.0849...關於上表的破產機率可用下列圖示：【圖表二】我們可以發現當n增加時，破產機率會呈現不連續函數，但就整體來看，破產機率確實隨著承保件數增加，而有逐漸下滑的趨勢。但需注意的是，上述的例子乃是基於保費大於預期損失為前提；若保費小於預期損失就不會出現如上之結果。再舉一例：假設一個意外險保險商品，其出險機率改為0.2，其他不變，保險費為2,000，每一意外事故賠款金額為20,000，假設保險公司只承接此業務時，其發生破產的機率如下：【圖表三】承保單位可以容忍的出險次數

6、破產機率100.2200.36300.488...900.86581010.62421110.6779...1910.91712020.79392120.8213...關於上表的破產機率可用下列圖示：【圖表四】從圖表二及圖表四可以看出，保險公司要透過大數法則降低自身的破產風險，其前提要件是所收保費必須大於預期損失，否則承保的件數愈多，保險公司的破產危險反而愈高。（二）對大數法則的第二個迷思（1）累積的風險是否必需具有同質性一般人對大數法則的第2個迷思是：除了要大量增加承保件數外，其所承接的危險單

7、位性質更應趨於一致（危險同質性），方能獲得大數法則作用之危險平均化，讓大數法則發揮效用。也就是說一般人的觀念裡，若欲以大數法則降低該險種的風險，就要儘量累積該險種的同質性風險，傳統承保方式是依照各個核保風險，諸如汽車險、火險、水險等來分別承保，對於當中任何一個核保風險，例如火險，保險人為往往會努力去增加火險的承保件數，以達成大數法則下風險降低的效果。（2）風險之間具有高度相關性時先前圖表一及圖表三的結果均是基於所有損失發生都是獨立隨機分佈為前提（independentidenticaldistr

8、ibution），事實上有些損失的發生彼此之間具有相關性（即有外在的共同因素所影響，例如：責任險會受法令變更所影響，財產險會受氣候因素所影響。）在許多保險學的教材中多有提到：大數法則要在保險經營發揮效用，不僅要訂立大量良質契約，更應將所承受危險單位的性質僅量趨於一致（同質性），以期獲得大數法則作用之危險平均化，符合統計性法則。這樣的觀念是合理的，但需注意的是，有些險種每一危險單位其風險間具有高度的正相關性（例如颱風洪水險）。這樣的險種即使將簽單件數增加，也無法大幅的降低或分散風險。圖表五隨著承保