微分方程竞赛模型（传染病和人口发展模型）

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1、传染病模型2模型1(SI模型)模型:34模型2(SIS模型)模型:5令s=l/m——接触数(再生数),一个传染期内每个病人有效接触的平均人数6903年:SARS传播预测的数学模型题目的第二问是提供了北京市4月20日到6月12日已确诊的SARS累计病例数、现有的疑似SARS病例数、累计死亡人数和累计治愈出院人数，希望学生建立起自己的模型，以对北京等地SARS的感染情况进行研究，定量地描述，并分析控制措施对SARS传播的影响。特别是训练学生学习利用已给的数据确定模型中的参数，进行分析、计算和比较。10评阅要点

2、:1)学生答卷中应包含对传播机理和传播状况的叙述(如:传播途径、传播方式、潜伏期和传播地区等)，并且给出建模原理、方法、思路或框图。2)模型中的人口至少有3类:易感者、患者和恢复(与死亡)者，仔细一些的可以再加入潜伏者、隔离者、疑似病人、确诊病人，治愈者和留观者等，要弄清楚他们之间的关系。3)模型还应包含对于传染率、治愈率和死亡率等重要概念的清晰表述。模型分析和计算中要给出上述参数的估计方法和估计值，还可包括平均治愈天数、隔离率和潜伏期等。11SARS建模和预测大部分答卷都在叙述了SARS传播机理的基础上

3、，作出类似于下面这些基本合理的假设:①单位时间内感染的人数与现有的感染者成比例;②单位时间内治愈人数与现有感染者成比例;③单位时间内死亡人数与现有的感染者成比例;④SARS患者治愈恢复后不再被感染;⑤各类人口的自然死亡可以忽略;⑥忽略迁移的影响。12这些比例系数可以是常数、时间的函数、时间和各类人口的函数、或分几段取常数。当然，还可以根据需要做其它假设。建立模型一般是将总人口分为易感者S(susceptible)、患者I(infective)、恢复者R(removed)，再仔细一些的还有潜伏者E,隔离者Q

4、(quarantinable)、疑似病人P(peradventure)和确诊病人J等类型。叙述或作出各类人口之间流动的示意图，并根据传染病建模的一般原理建立起如SIR,SEIR,SEQPIJR等类模型。这些模型基本思路相同，差异在于人口分类的多少，关键在于参数的确定。例如最简单的SIR模型为13其中：S(t)是t时刻易感者的数量，它等于总人口减去患者和恢复者的数量;I(t)是t时刻患者的数量;R(t)是t时刻恢复者的数量;bS(t)是单位时间内每个患者感染的人数;g是患者的恢复率;d是患者的死亡率。14由

5、于隔离等控制措施的不断加强和治疗情况的变化，b,g,d也是随时间而变化的;另外，由于易感者的数量特别大，可以近似看作常数，且将常数合并到b中去。在实际应用中，我们最关心的是感染者数量的变化。取时间单位为天，将模型中的第2个方程离散化得递推关系为在离散化的模型(2)中，b(t)的含义是每天每个SARS感染者传染的人数，是一个十分重要的参数，其确定的原则是:当天新增SARS病人人数除以当天SARS感染者人数，再进行曲线拟合即可。g(t)和d(t)是SARS患者每天治愈和死亡所占的比例，可以一起确定，其方法是当

6、天SARS感染治愈和死亡人数除以当天SARS感染人数，再进行曲线拟合即可。15例如，利用卫生部公布的4月20日至5月15日全国的数据进行计算，可以得到b(t)随时间变化的关系如图1中折线所示，用指数曲线b(t)=ae-bt对其进行回归拟合得到b(t)的表达式，其曲线如图1中的光滑曲线所示。同理得到d(t)+g(t)的表达式。将这些函数代人(2)进行递推计算得每天的SARS感染者人数(见图2)。16摘要:本文以2003年6月以前的有关数据为资料，在传统的SEIR传染病模型的基础上，对人群作了合理的分类，建立

7、了控制前传播模型和控制后传播模型，通过合理估计、曲线拟合和概率平均的方法得到了各个参数。重点分析了控后模型，用龙格一库塔法求解了方程，并对北京、内蒙古、广东、香港四个SARS重点疫区的疫情作了具体的分析，最后评价了模型的合理性、实用性，提出了模型的改进方向和思路。非典数学模型的建立与分析171、问题的提出(略)2、数学模型的分析与建立2.1分析与假设SARS爆发初期，政府和公众对其重视程度远远不够;当被感染者大幅度增加时，政府才开始采取多种措施以控制SARS的进一步蔓延。所以SARS的传播可以分为三个阶段

8、:a)控制前，接近于自然传播时的传播模式。b)过渡期，在公众开始意识到SARS的严重性到政府采取得力措施前的一段时间内。c)控制后，在介人人为因素之后的传播模式。我们统一将所有地区的SARS传播规律用“控制前”和“控制后”两个时期来分析。182.2总体假设1.假设一个SARS康复者不会二度感染，他们已退出传染体系，因此将其归为“退出者”。2.不考虑这段时间内的自然出生率和死亡率,由SARS引起的死亡人数，归为“退出者”。3.假