微分方程竞赛模型.ppt

《微分方程竞赛模型.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、微分方程竞赛模型21996年全国大学生数学建模竞赛试题分析A题最优捕鱼策略利用微分、差分方程建立数学模型为了保护人类赖以生存的自然环境,可再生资源(如渔业、林业)的开发必须适度.一种合理、简化的策略是在实现可持续收获的前提下,追求最大产量或最佳效益.考虑对某种鱼(鳀鱼)的最优捕捞策略：鳀(tí)鱼体长十余厘米,银灰色,侧扁,生活在海中.亦称黑背鳀.幼鱼干制品称海蜒(yán)3假设这种鱼分4个年龄组:称1龄组,……,4龄组.各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07,11.55,17.86,22.99(克);各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8(1/年);这

2、种鱼为季节性集中产卵繁殖,平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105(个);3龄鱼的产卵量为这个数的一半,2龄鱼和1龄鱼不产卵,产卵和孵化期为每年的最后4个月;卵孵化并成活为1龄鱼,成活率(1龄鱼条数与产卵总量n之比)为4每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业.如果每年投入的捕捞能力(如渔船数、下网次数等)固定不变,这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比,比例系数不妨称捕捞强度系数.通常使用13mm网眼的拉网,这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼,其两个捕捞强度系数之比为0.42:1.渔业上称这种方式为固定努力量捕捞.渔业管理部门规定:51)

3、建立数学模型分析如何实现可持续捕获(即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变),并且在此前提下得到最高的年收获量(捕捞总重量).某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年,合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏.已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为:122,29.7,10.1,3.29(×109条),如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采取怎样的策略才能使总收获量最高？6对该问题的几点说明:原问题实质上是明确或隐含地给出了各年龄组鱼群的转化规律,并给出了它们的自然死亡率及产卵的时间分布,并固定每年投入的捕捞能力及3、4龄鱼捕捞能力的比值,要求选择一定

4、的捕捞能力系数,使得各年龄组鱼量在各年开始捕捞前条数不变,或5年后鱼群的生产能力不会有太大的破坏,并在此条件下,得到以重量计的最大捕获量.7必须首先明确以下三个概念的含义：(1)捕捞强度系数.如果用数学语言来表达就是:只考虑捕捞对种群变化的影响,则在[t,t+∆t]这段时间内鱼类种群由捕捞产生的变化量为N(t)N(t+∆t),单位时间的捕捞量是:[N(t)N(t+∆t)]/∆t,当它与鱼群的大小成正比时应该有关系[N(t)N(t+∆t)]/∆tqN(t)这个关系应该对任何时间间隔∆t都成立。8(2)“季节性集中繁殖”.题目中说产卵孵化期是每

5、年的最后四个月,而且是集中繁殖,那末假设时间服从均匀分布是不合适的(这时鱼类个体每1.2分钟产一个卵).在不失生物学的真实的前提下,使模型分析尽量简单的假设应该是假设:鱼群的个体在后四个月的第一天集中一次产卵.于是,令∆t→0就得到方程dN/dtqN,捕捞系数应该理解为满足这个关系的量q.如果直接把它理解为捕捞的百分率是不恰当的.9(3)“自然死亡率(1/年)”.注意,这是一个有量纲的量,它既不是简单的百分率又不是简单的变化速率.实际上它是百分比率的变化率.它应该理解为以每年死亡80%的速率减少,并不是在一年内恰好死亡80%.另外,题目中没有说

6、明四龄以上的鱼如何处理.我们可以假设这种鱼只活到四龄,以后它就死掉了.也可以假设四龄以后的鱼仍然活着.这对模型没有太大的差别,只是后者的分析计算稍复杂,计算结果也只是稍有差别.10摘要本问题是典型的可再生资源开发问题,因此我们以成熟的Scheafer模型为基础求解.在建模过程中,我们对各年龄组鱼在一年的数量变化规律应用微分方程进行分析,建立捕捞期和产卵期各组鱼群的数量随时间变化的指数型方程.此后我们又对各组鱼群之间的数量关系建立按年份变化的离散型方程,最终获得既简单又比较精确的离散型迭代方程组.11在模型求解过程中,我们结合计算机分析求解的技术,应

7、用Mathematical软件和WtcomC/C++编辑器,通过编程求出了问题的解,并以作图的方式给出了模型的直观表示.我们….得出如下结论:(略)所涉及的知识：微分方程，差分方程12该模型讨论的主要内容问题的分析模型的假设与符号说明模型的建立模型结果及检验模型的评价及应用对鱼的捕捞的进一步讨论13一.问题的分析说明你对该问题的总体思路,及其对关键概念及术语的理解.(略)二.模型的假设与符号说明a.模型的假设(一)关于鱼的分类鱼分为1,2,3,4龄鱼;2.4龄鱼存活一年后仍为4龄鱼.14(二)关于鱼的生长过程(1)3,4龄鱼在一年的后4个月集中产卵

8、,且在该4个月的开始时刻进行;(2)各年龄组鱼的自然死亡率为0.8/年,且死亡是一个连续过程,不是在某一时刻的突发;(3)