线性代数 第4章 向量空间 - 习题详解

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1、第4章向量空间4.1向量及其线性组合练习4.11.设求及.解2.设,求.其中解由得3.将线性方程组35写成向量形式及矩阵形式.解向量形式：矩阵形式：4.设是已知列向量，若，记矩阵，求线性方程组的一个解.解由得方程组的一个解为5.问是否可由向量组线性表示？其中（1）（2）解（1）令由35得有唯一解，从而可由向量组唯一线性表示：（2）令由得无解，从而不能由向量组线性表示.6.已知（1）取何值时，不能由的线性表示？（2）取何值时，可由唯一线性表示式？并写出表示式.解令，考察方程组是否有解.35（1）当时，方程组无解，故不能由的线性表

2、示.（2）当时，继续进行初等行变换得方程组有唯一解：故可由的唯一线性表示.表示式为：7.用标准坐标向量证明：如果对任意向量有，则是零矩阵.证设是矩阵.特别地取，则即.8.设向量组可由向量组线性表示如下：写出形如（4.5）的矩阵形式.解9.设35证明向量组可由向量组线性表示，但向量组不能由向量组线性表示.证令，由知向量组可由向量组线性表示.由知都不能由向量组线性表示，故向量组不能由向量组线性表示.10.设证明向量组与向量组等价.方法1令.由35知向量组可由向量组线性表示.知向量组可由向量组线性表示.所以.方法2令，则，记，根据行

3、等价矩阵的行向量组等价，由上知所以.4.2向量组的线性相关性练习4.21.证明：含有零向量的向量组必线性相关.证不妨设向量组为，其中，则根据定义线性相关.2.证明：含两个向量的向量组线性相关的充要条件是它们的分量对应成比例.问含三个向量的向量组线性相关的充要条件是不是它们对应的分量成比例？35证设且线性相关.于是存在不全为零的数使得，不妨设，从而，即即与的对应分量成比例.反之，如果，则,即，故线性相关.由三个向量构成的向量组如果对应分量成比例，则显然线性相关.但线性相关，它们的对应分量不一定成比例.如或3.判别下列向量组的线性

4、相关性：（1），（2）（3）解（1）令，由，知是可逆矩阵，故其列向量组线性无关.（2）类似（1），由，得线性相关.(3)易知向量组35线性无关，而向量组是向量组的加长向量组，故也线性无关.4.设,(1)问为何值时,向量组线性相关？(2)问为何值时,向量组线性无关？解令，计算得（1）当时，是不可逆矩阵，其列向量组线性相关.（2）当时，是可逆矩阵，其列向量组线性无关.5.证明由阶梯矩阵的非零行构成的向量组一定线性无关.证不妨设阶梯矩阵其中.考察下面方程组显然该方程组只有零解，故线性无关.4.3向量组的秩练习4.31.设求向量组的秩

5、及其一个极大无关组,并把其余向量用所求的极大无关组线性表35示.解因此是的一个最大无关组，且，2.设向量组的秩为2，求.解记，由于，所以线性相关，也线性相关.由得.由得.3.证明极大无关组的定义4.5与定义4.6的等价性.证（定义4.5定义4.6）设是中任意个向量.由定义4.5（2）知可由线性表示，由定理4.9，线性相关，即定义4.6（2）成立.35（定义4.6定义4.5）设是中任意一个向量.则是个向量，由定义4.6（2），线性相关，又线性无关，再由唯一表示定理，可由线性表示，即定义4.5（2）成立.4.4矩阵的秩练习4.41

6、.求下面矩阵的秩（1），（2）（其中互不相等）.解（1）由得（2）记，由于范德蒙行列式，得2.（1）设是矩阵，且，写出的等价标准形；（2）设是矩阵，且，写出的等价标准形.解（1），（2）3.设（1）求一个矩阵使得，且;（2）求一个矩阵使得，且.解（1）求解方程组得两个线性无关的解35令则，即为所求.（2）解得一个解，解得一个解令则，即为所求.4.设，若是可逆矩阵，则.证5.证明：.方法1设,,不妨设是的列向量组的极大无关组，是的列向量组的极大无关组.显然的列向量可由线性表示，于是的列秩证明：方法2由得，从而（用到例题的结论）3

7、56.用等价标准形定理证明：的充要条件是其中.证设，由等价标准形定理，存在可逆矩阵，使得令是的第一列，是的第一行，显然，上式就是.反之，如果，则4.5向量空间练习4.51.设证明是的子空间,不是的子空间.证是齐次线性方程组的解集，是非齐次线性方程组的解集，同例题的证明一样.2.设证明是的子空间，并求的维数及的一个基.证把中向量改写为35则，又线性无关，所以是的一个基，.3.设求两个不同的基,并分别求在所求的基下的坐标.解易知，又线性无关，线性无关，所以与都是的基.解方程组得于是在基下的坐标是.解方程组得于是在基下的坐标是.4.

8、设证明：.证只需证由35知可由线性表示.由知可由线性表示.所以.5.已知的两个基为及求由基到基的过渡矩阵.解由得由基到基的过渡矩阵为354.6线性方程组解的结构练习4.61.求齐次线性方程组两个不同的基础解系，并写出通解.解记系数矩阵为，则同解方程为分别取得，得基础解系为分别