考研数学三真题2010年

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1、2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三试卷一、选择题(每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．)(A)0．(B)1．(C)2．(D)3．(2)设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y'+p(x)y=q(x)的两个特解．若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1-μy2是对应的齐次方程的解，则(3)设函数f(x)，g(x)具有二阶导数，且g"(x)＜0，若g(x0)=a是g(x)的极值，则f(g(x))在x0取极大值的一个充分条件是(A)f'(a)＜0．(B)f'(a)＞0．(C)f"(a)＜0．(D)f"(a)＞0．(4)，则当x充分大时有(

2、A)g(x)＜h(x)＜f(x)．(B)h(x)＜g(x)＜f(x)．(C)f(x)＜g(x)＜h(x)．(D)g(x)＜f(x)＜h(x)．(5)设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr，可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，β3线性表示，则下列命题正确的是(A)若向量组Ⅰ线性无关，则r≤s．(B)若向量组Ⅰ线性相关，则r＞s．(C)若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s．(D)若向量组Ⅱ线性相关，则，r＞s.(6)设A为4阶实对称矩阵，且A2+A=0，若A的秩为3，则A与A相似于(7)设随机变量X的分布函数(8)设f1(x)为标准正态分布的概率密度，f2(x)为[-1，3]上的均匀分布的概率密度，若为概率密度，

3、则a，b应满足(A)2a+3b=4．(B)3a+2b=4．(C)a+b=1(D)a+b=2．二、填空题(把答案填在题中横线上。)(9)设可导函数y=y(x)由方程______.(10)设位于曲线下方，x轴上方的无界区域为G，则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为______．(11)设某商品的收益函数为R(P)，收益弹性为1+P3，其中P为价格，且R(1)=1，则R(P)=______.(12)若曲线y=x3+ax2+bx+1有拐点(-1，0)，则b=______．(13)设A，B为3阶矩阵，且

4、A

5、=3，

6、B

7、=2，

8、A-1+B

9、=2，则

10、A+B-1

11、=______．(14)若X1，X2

12、，…，Xn，为来自正态总体N(μ,σ2)(σ＞0)的简单随机样本，记统计量，则E(T)=______．三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)(15)(16)(17)求函数u=xy+2yz在约束条件x2++y2+z2=10下的最大值和最小值．(18)(19)设函数f(x)在闭区间[0，3]上连续，在开区间(0，3)内二阶可导，且(Ⅰ)证明存在η∈(0,2)，使得f(η)=f(0)；(Ⅱ)证明存在ζ∈(0,3)，使得f"(ζ)=0．(20)已知线性方程组Ax=b存在2个不同的解．(Ⅰ)求λ，a；(Ⅱ)求方程组Ax=b的通解．(21)(22)设二维随机变量(X，y)的概率密度为求

13、常数A以及条件概率密度fY

14、X(y

15、x)．(23)箱中装有6个球，其中红、白、黑球个数分别为1，2，3，现从箱中随机地取出2个球，记X为取出红球的个数，Y为取出白球的个数．(Ⅰ)求随机变量(X，Y)的概率分布；(Ⅱ)求Cov(X，Y)．参考解答一、选择题(1)C(2)A(3)B(4)C(5)A(6)D(7)C(8)A二、填空题(9)-1(10)(11)(12)3(13)3(14)μ2+σ2三、解答题(15)分析：化为指数形式，用洛比达法则及等价无穷小替换．(16)分析：被积函数展开，利用二重积分的对称性．解：显然D关于x轴对称，且D=D1∪D2，其中评注：二重积分的对称性的考查一直是重要测

16、试内容．(17)分析：本题为条件极值问题，用拉格朗日乘数法.评注：求多元函数的极值已连续几年考查，仍属基本题型。(18)分析：对(Ⅰ)比较被积函数的大小，对(Ⅱ)用分部积分法计算积分，再用夹逼定理求极限．评注：若一题有多问，一定要充分利用前问提供的信息．(19)分析：需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理。证明：(Ⅰ)因f(x)在闭区间[0，2]上连续，由积分中值定理得，至少存在一点η∈(0，2)，使得又f(x)在闭区间[2，3]上连续，从而介于f(x)在[2，3]上的最大值与最小值之间，由介值定理知，至少存在一点γ∈[2，3]，使得f(y)=f(0)．因此f(x)在区间[0，

17、η]，[η，γ]上都满足罗尔中值定理条件，于是至少存在点ζ1∈(0，η)，ζ2∈(η，γ)，有f'(ζ1)=f'(ζ2)=0，由f(x)在[0O，3]上连续，在(0，3)内二阶可导，知f'(x)在[ζ1，ζ2]上连续，在(ζ1，ζ2)可导，用罗尔中值定理，至少存在一点ζ∈(ζ1，ζ2)(0，3)，使得f''(ζ)=0．评注：一般地有如下结论：设f(x)在[a，b]上连续，a＜x1＜x2＜…＜xn＜b，(i=1，2，…，n