运城学院参考资料——信号与系统王明泉第七章习题解答

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1、第7章离散时间系统的Z域分析7.1学习要求（1）深刻理解z变换的定义、收敛域及基本性质，会根据z变换的定义和性质求解一些常用序列的z变换，能求解z反变换，深刻理解z变换与拉普拉斯变换得关系；（2）正确理解z变换的应用条件；（3）能用z域分析分析系统，求离散系统的零状态响应、零输入响应、完全响应、单位样值响应；（4）深刻理解系统的单位样值响应与系统函数H(z)之间的关系，并能用系统函数H(z)求解频率响应函数，能用系统函数的分析系统的稳定性、因果性。7.2本章重点（1）z变换（定义、收敛域、性质、反变换、应用）；（2

2、）z域分析（求解分析系统）；（3）系统的频率响应函数。7.3本章的知识结构7.4本章的内容摘要7.4.1Z变换（1）定义表示为：。（2）收敛域1.有限长序列（1）当时，始终为正，收敛条件为；（2）当时，始终为负，收敛条件为；（3）当时，既取正值，又取负值，收敛条件为。2.右边序列（1）当时，始终为正，由阿贝尔定理可知，其收敛域为，为最小收敛半径；（2）当时，分解为两项级数的和，这时，第一项为有限长序列，其收敛域为；第二项为z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知，其收敛域为；取其交集得到该右边序列的收敛域为。3．左边序列（

3、1）当，始终为负，收敛域为，为最大收敛半径；（2）当，可分解为两项级数的和，第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理,其收敛域为，为最大收敛半径；第二项为有限长序列，其收敛域为；取其交集，该左边序列的收敛域为。4．双边序列双边序列指为任意值时,皆有值的序列，即左边序列和右边序列之和。其变换：双边序列的收敛域为一环形区域。下表列出了序列的形式与变换收敛域的关系。表7.1（3）常用序列的Z变换1、收敛域为整个Z平面。2、，收敛域为。3、，收敛域为。[注释]1．因果序列的收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。2．左边序列的收

4、敛域一定在模最小的极点所在的圆内。3．对照例2.2和2.3不难发现，不同的序列可得到相同的Z变换表达式，因此一个Z变换表达式不唯一对应一个序列，而需要和收敛域一起确定一个序列。（4）Z反变换1.部分分式法当的表达式为有理分式时可采用部分分式展开法求其反变换。有理分式是指含字符的式子做分母的有理式，或两个多项式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。部分分式法是把x的一个实系数的真分式分解成几个分式的和，使各分式具有或的形式，其中是实数范围内的不可约多项式，而且k是正整数。这时称各分式称为原分式的“部分分式”。通常，X

5、(z)可表成有理分式形式：因此，X(z)可以展成以下部分分式形式：其中，M≥N时，才存在；Zk为X(z)的各单极点，Zi为X(z)的一个阶极点。而系数Ak，Ck分别为：分别求出各部分分式的z反变换，然后相加即得X(z)的z反变换。2.幂级数展开法(长除法)由Z变换的定义可知，x(n)的Z变换为Z-1的幂级数，即所以在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其系数就是序列x(n)。（1）若收敛域为

6、z

7、>Rx+，x(n)为右边序列，则X(z)主要展成Z的负幂级数。（2）若收敛域

8、Z

9、

10、展成Z的正幂级数。[结论]可采用长除法将的有理表达式展开为幂级数形式。（1）若所对应为右边序列，在进行长除时，分子、分母采用的升幂或的降幂次序排列；（2）若所对应为左边序列，在进行长除时，分子、分母采用的降幂或的升幂次序排列。（5）基本性质和定理7.4.2Z变换与拉氏变换、傅氏变换的关系（1）Z变换与拉氏变换的关系1.r与σ的关系即S平面的虚轴，对应,即Z平面单位圆；即S的左半平面，对应,即Z的单位圆内；即S的右半平面，对应,即Z的单位圆外。2、ω与Ω的关系（ω=ΩT）Ω=0，S平面的实轴，对应，Z平面正实轴；Ω=

11、Ω0(常数)，S:平行实轴的直线，对应,Z平面上始于原点的射线；的水平条带，对应整个z平面。（2）Z变换和傅氏变换的关系序列在单位圆上的Z变换为序列的傅氏变换。（3）序列的傅氏变换7.4.3离散系统的系统函数及频率响应（1）.系统函数:（2）系统的频率响应单位圆上的z变换是序列的傅里叶变换，反映了序列的频谱。如果上述z变换是一个线性移不变系统的系统函数，那么单位圆（）上系统函数就是系统的频率响应，记为。（3）因果稳定系统如果系统函数的收敛域包括单位圆（），则系统是稳定的，反之成立。也就是说必须存在且连续。因果系统的

12、收敛半径为的圆的外部，且必须包括在内。一个因果稳定的系统函数必须在从单位圆到的整个Z域内收敛，即收敛域包括：。也就是说，系统函数的全部极点必须在单位圆内。7.5典型考试试题解析题1、判断LTI系统的的稳定性和因果性答案：因果、不稳定分析：系统的极点为2，3。所以系统的因果的，另外系统的收敛域不包含单位圆，所以系统不稳定题2、已知一线性时不变且因果的离散时间系