数学分析教案(第一章)

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1、第一章实数集与函数（12学时）§１．实数教学目的：使学生掌握实数的基本性质．教学重点：（１）理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；（２）牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用．学时安排:2学时教学方法：讲授．（部分内容自学）教学程序：引言上节课中，我们与大家共同探讨了《分析》这门旅程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．[问题]为什么从“实数”开始．答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的

2、“函数”是定义在“实数集”上的（《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．一实数及其性质１、实数．[问题]有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定：对于正有限小数其中，记；对于正整数则记；对于负有限小数（包括负整数），则先将表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．０＝例：利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．但新的问题又出现了：在此规定下，如何比较实数的大小？２．两实数大小的比较1）定义１　给定两个非负实数，.其中为

3、非负整数，为整数，．若有，则称与相等，记为；若或存在非负整数，使得，而，则称大于或小于，分别记为或．对于负实数、，若按上述规定分别有或，则分别称为与（或）．规定：任何非负实数大于任何负实数．2）实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．定义２（不足近似与过剩近似）：为非负实数，称有理数为实数的位不足近似；称为实数的位过剩近似；对于实数，其位不足近似；位过剩近似.注：实数的不足近似当增大时不减，即有过剩近似当n增大时不增，即有．命题：记，为两个实数，则的等价条件是：存在非负整数n，使（其中为的位不足近似，为的位过剩近似）．命题应用————例１例１．设为实数，，证明存在

4、有理数，满足．证．由，知：存在非负整数n，使得．令，则r为有理数，且．即．３．实数常用性质（详见附录Ⅱ．Ｐ２８９－３０２）．l封闭性（实数集Ｒ对）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为０）仍是实数．l有序性：任意两个实数必满足下列关系之一：．l传递性；．l阿基米德性：使得．l稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．l实数集Ｒ与数轴上的点有着一一对应关系．例２．设，证明：若对任何正数，有，则．（提示：反证法．利用“有序性”，取）二、绝对值与不等式（分析论证的基本工具）．１．绝对值的定义实数的绝对值的定义为．２．几何意义：从数轴看，数的绝对值就是点到原

5、点的距离．认识到这一点非常有用，与此相应，表示就是数轴上点与之间的距离．３．性质．１）（非负性）；２）；３），；４）对任何有（三角不等式）；５）；６）（）．［练习］Ｐ４．　５［课堂小结］：实数：.§２数集和确界原理教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。教学要求：（１）掌握邻域的概念；（2）理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）。教学难点：确界的定义及其应用。学时安排:4学时教学方法：讲授为主教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课。引言上节课中我们对数

6、学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章§１实数的相关内容。下面，我们先来检验一下自学的效果如何！１．证明：对任何有（１）；（２）.２．证明：.３．设，证明：若对任何正数有，则.４．设，证明：存在有理数满足.[引申]：①由题１可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一。而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用。提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语

7、和工具（至此，复习告一段落）。本节主要内容：１．先定义实数集Ｒ中的两类主要的数集——区间邻域；２．讨论有界集与无界集；３．由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）。一区间与邻域１．区间（用来表示变量的变化范围）设且。１．邻域联想：“邻居”。字面意思：“邻近的区域”。（看左图）。与a邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？（１）a的邻域：设，满足不等式的全体实数的集合称为点a的邻域，记作，或简记为，即.（２）点a的空心邻域.（３）a的右邻域和点a的空心右邻域（４）