数学分析第一章

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1、§1.1实数第一章实数集与函数§1实数Ⅰ.教学目的与要求1．理解实数的概念,掌握实数的表示方法2.了解实数的性质,并在有关命题中正确地加以应用3.理解绝对值的概念，掌握绝对值的性质，并在有关命题中正确地加以应用.Ⅱ.教学重点与难点重点:实数的定义及性质、绝对值与不等式.难点:实数的定义及其应用.Ⅲ.讲授内容一实数及其性质实数的组成:实数由有理数与无理数两部分组成．有理数的表示:有理数可用分数形式(˛为整数，0)表示，也可用有限十进小数或无限十进循环小数来表示.无理数:无限十进不循环小数则称为无理数．有理数和无理数统称为实数．有限小数(包括整数)也表示为无限小数．

2、规定如下：对于正有限小数（包括整数）x,当x=.时，其中0i=1,2,n,为非负整数，记x=.1)̣*̣.9999而当x=a为正整数时，则记x=(—1)．9999…，例如2．001记为2．0009999…；对于负有限小数(包括负整数)y，则先将—y表示为无限小数，再在所得无限小数之前加负号，例如—8记为—7．9999…；又规定数0表示为0．0000…．于是，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．我们已经熟知比较两个有理数大小的方法．现定义两个实数的大小关系．定义1给定两个非负实数x=.y=其中为非负整数，(k=1，2，…)为整数，09，09.若有0，1，2，则

3、称x与y相等，记为x=y；若或存在非负整数L，使得=(k=0，1，2，…，L)而，则称x大于y或y小于x，分别记为x>y或yx)．另外，自然规定任何非负实数大于任何负实数．§1.1实数定义2:=.为非负实数．称有理.为实数x的n位不足近似，而有理数称为x的n位过剩近似，n=0,1,2,.对于负实数,其n位不足近似与过剩近似分别规定为与.注不难看出，实数x的不足近似当n增大时不减，即有xxx…，而过剩近似当n增大时不增，即有…．命题设x=.与y=.…为两个实数，则x>y的等价条件是：存在非

4、负整数n，使得>，其中表示的位不足近似，表示的位过剩近似．例1设x、y为实数，x.3．实数的大小关系具有传递性，即若>，>c，则有>c．4．实数具有阿基米德(Archimedes)性，即对任何、R，若>>0，则存在正整数，使得

5、>．5．实数集R具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数(见例1)，也有无理数．6．如果在一直线(通常画成水平直线)上确定一点作为原点，指定一个方向为正向(通常把指向右方的方向规定为正向)，并规定一个单位长度,则称此直线为数轴．任一实数都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的每一点也都唯一地代表一个实数．于是，实数集R§1.1实数与数轴上的点有着一一对应关系．因此在以后的叙述中，常把“实数”与“数轴上的点”看作具有相同的含义﹒例2设、R．证明：若对任何正数有<+，则．证用反证法．倘若结论不成立，则根据实数集的有序性，有>．令，则为正数且，

6、但这与假设<相矛盾．从而必有．二绝对值与不等式实数a的绝对值定义为从数轴上看，数的绝对值就是点到原点的距离．实数的绝对值有如下一些性质：1．0；当且仅当=0时有=0．2．．3．；﹒4．对于任何、R有如下的三角形不等式：.．．．．下面只证明性质4，其余性质由学生自行证明．由性质2有两式相加后得到根据性质3，上式等价于将(1)式换成，(1)式右边不变，即得，这就证明了性质4不等式的右半部分．又由从而得§1.1实数将(2)式中换成，即得证.Ⅳ小结与提问:本节要求学生掌握实数的概念及其性质,牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及常见的不等式,并在有关命题证明中正确地加以

7、运用.Ⅴ课外作业:P3、4、5、6、7、8、9.