第25讲 同余式-初二奥数教材

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1、第二十五讲*同余式　　数论有它自己的代数，称为同余理论．最先引进同余的概念与记号的是数学王子高斯．　　先看一个游戏：有n＋1个空格排成一行，第一格中放入一枚棋子，甲乙两人交替移动棋子，每步可前移1，2或3格，以先到最后一格者为胜．问是先走者胜还是后走者胜？应该怎样走才能取胜？　　取胜之道是：你只要设法使余下的空格数是4的倍数，以后你的对手若走i格(i=1，2，3)，你走4-i格，即每一次交替，共走了4格．最后只剩4个空格时，你的对手就必输无疑了．因此，若n除以4的余数是1，2或3时，那么先走者甲胜；

2、若n除以4的余数是0的话，那么后走者乙胜．　　在这个游戏里，我们可以看出，有时我们不必去关心一个数是多少，而要关心这个数用m除后的余数是什么．又例如，1999年元旦是星期五，1999年有365天，365=7×52＋1，所以2000年的元旦是星期六．这里我们关心的也是余数．这一讲中，我们将介绍同余的概念、性质及一些简单的应用．　　同余，顾名思义，就是余数相同．　　定义1给定一个正整数m，如果用m去除a，b所得的余数相同，则称a与b对模m同余，记作a≡b(modm)，　　并读作a同余b，模m．　　若a与

3、b对模m同余，由定义1，有a=mq1＋r，b=mq2+r．　　所以a-b=m(q1-q2)，　　即m｜a-b．　　反之，若m｜a-b，设a=mq1＋r1，b=mq2＋r2，0≤r1，r2≤m-1，　　则有m｜r1-r2．因｜r1-r2｜≤m-1，故r1-r2=0，即r1＝r2．　　于是，我们得到同余的另一个等价定义：　　定义2若a与b是两个整数，并且它们的差a-b能被一正整数m整除，那么，就称a与b对模m同余．　　同余式的写法，使我们联想起等式．其实同余式和代数等式有一些相同的性质，最简单的就是下面

4、的定理1．　　定理1(1)a≡a(modm)．　　(2)若a≡b(modm)，则b≡a(modm)．　　(3)若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm)．　　在代数中，等式可以相加、相减和相乘，同样的规则对同余式也成立．　　定理2若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则　　a±c≡b±d(modm)，ac≡bd(modm)．　　证由假设得m｜a-b，m｜c-d，所以m｜(a±c)-(b±d)，m｜c(a-b)＋b(c-d)，　　即a±c≡b±d(modm)，ac≡bd(mod

5、m)．　　由此我们还可以得到：若a≡b(modm)，k是整数，n是自然数，则a±k≡b±k(modm)，ak≡bk(modm)，an≡bn(modm)．　　对于同余式ac≡bc(modm)，我们是否能约去公约数c，得到一个正确的同余式a≡b(modm)？　　在这个问题上，同余式与等式是不同的．例如25≡5(mod10)，　　约去5得5≡1(mod10)．　　这显然是不正确的．但下面这种情形，相约是可以的．　　定理3若ac≡bc(modm)，且(c，m)=1，则　　a≡b(modm)．　　证由题设知a

6、c-bc=(a-b)c=mk．　　由于(m，c)=1，故m｜a-b，即a≡b(modm)．　　定理4若n≥2，a≡b(modm1)，a≡b(modm2)，…………a≡b(modmn)，　　且M=[m1，m2，…，mn]表示m1，m2，…，mn的最小公倍数，则a≡b(modM)．　　前面介绍了同余式的一些基本内容，下面运用同余这一工具去解决一些具体问题．　　应用同余式的性质可以简捷地处理一些整除问题．若要证明m整除a，只需证a≡0(modm)即可．　　例1求证：　　(1)8｜(551999＋17)；　

7、　(2)8(32n＋7)；　　(3)17｜(191000-1)．　　证(1)因55≡-1(mod8)，所以551999≡-1(mod8)，551999＋17≡-1＋17=16≡0(mod8)，于是8｜(551999＋17)．　　(2)32=9≡1(mod8)，32n≡1(mod8)，所以32n＋7≡1＋7≡0(mod8)，即8｜(32n＋7)．　　(3)19≡2(mod17)，194≡24=16≡-1(mod17)，所以191000=(194)250≡(-1)250≡1(mod17)，于是17｜(1

8、91000-1)．　　例2求使2n-1为7的倍数的所有正整数n．　　解因为23≡8≡1(mod7)，所以对n按模3进行分类讨论．　　(1)若n=3k，则2n-1＝(23)k-1＝8k-1≡1k-1＝0(mod7)；　　(2)若n=3k＋1，则2n-1=2·(23)k-1=2·8k-1　　　≡2·1k-1＝1(mod7)；　　(3)若n=3k＋2，则2n-1=22·(23)k-1=4·8k-1　　　≡4·1k-1＝3(mod7)．　　所以，当且仅当3｜n时，2n-1为7