资源描述：
《第08讲非负数-初二奥数教材.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第八讲非负数所谓非负数，是指零和正实数.非负数的性质在解题中颇有用处.常见的非负数有三种：实数的偶次幕、实数的绝对值和算术根.1•实数的偶次幕是非负数若a是任意实数，则a2n>0(n为正整数)，特别地，当n=1时，有a2>0.2•实数的绝对值是非负数若a是实数，则卜当a>0at；IaI=｛久当乩=0时$[a,当览<0时性质绝对值最小的实数是零.'3.—个正实数的算术根是非负数性质趕实数，则4e=Iai4.非负数的其他性质(1)数轴上，原点和原点右边的点表示的数都是非负数.⑵有限个非负数的和仍为非负数，即若ai，a?，…，an为非负数，贝Uai+a?+^+an>0
2、.(3)有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若a,a2,…,an为非负数，且a+a?+…+an=0,则必有ai=a?=•••=a“=0.在利用非负数解决问题的过程中，这条性质使用的最多.(4)非负数的积和商(除数不为零)仍为非负数.(5)最小非负数为零，没有最大的非负数.⑹一元二次方程ax2+bx+c=0(a工0)有实数根的充要条件是判别式△=b2-4ac为非负数.应用非负数解决问题的关键在于能否识别并揭示出题目中的非负数，正确运用非负数的有关概念及其性质，巧妙地进行相应关系的转化，从而使问题得到解决.例E己知I「3I求巧的值.解因为丨a-3l,■TT
3、迈均郑£负数，且其和为零I所以有!a-3I=0且Vb+2—Q・解得a=3,b二2.代入代数式得a-*-2b3+2X(-2)3-(%例2化简；II抚土J-莎-劳I+20L解因为(20x-3)2为非负数，所以-(20x-3)2w0.①又因为J-㈤耳-矿有意义,所以-(20x-3)2>0.②由①，②可得：-(20x-3)2=0.所以原式=
4、
5、20±0
6、+20
7、=40.说明本题解法中应用了“若a>0且a<0,则a=0”，这是个很有用的性质.]hy=--t--1+71_4k,求一的值.例3已知x,y为实数，且」丫解因为x,y为实数，要使y的表达式有意义，必有4x-1^0,“
8、1也蛊訐0・賊gl=o・所惋=二从而y=二因此--7・43y4例4已知农代数式严*的值.解因为a2+b2-4a-2b+5=0,所以a2-4a+4+6-2b+1=0,即(a-2)2+(b-1)2=0.(a-2)2=0,且(b-1)2=0.所以a=2,b=1.所以拓十b忑十1騷十'-厶反J?_2罷-亠17^+1J2+1=M_〔)厂"=(Js'+l)2-3+2J2.例5已知x,y为实数，求u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3的最小值和取得最小值时的x,y的值.解u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3222=x+y+1-2xy+2x-2y+4x-4xy+yg2+
9、2=(x-y+1)2+(2x-y)2+2.因为x,y为实数，所以(x-y+1)2>0,(2x-y)2>0,所以u>2.所以当fx-y+1=0T[2x-y-0时，u有最小值2,此时x=1,y=2.例6确定方程(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0的实数根的个数.解将原方程化为a2x2-2ax+1+x2+a2+3=0,即(ax-1)2+x2+a2+3=0.对于任意实数x，均有(ax-I)2》0,x2>0,a2>0,3>0,所以,(ax-1)2+x2+a2+3恒大于0,故(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0无实根.例7求方程4,十縮十宀y十4=4辰匚/的实数根
10、分析本题是已知一个方程，但要求出两个未知数的值，而要确定两个未知数的值，一般需要两个方程•因此，要将已知方程变形，看能否出现新的形式，以利于解题.例7求方程4,十縮十宀y十4=4辰匚/的实数根解方程4/+物+才-严4二4保丐可变形为n2+2瓷芋++3^亠y-4+4=2+（J疔-y-2）3-0.解之得f4或彳L亍4厂丁经检验，均为原方程的解.说明应用非负数的性质“几个非负数之和为零，则这几个非负数都为零”，可将一个等式转化为几个等式，从而增加了求解的条件.例8已知方程组求实数Xi，X2，…，Xn的值.解显然，Xl=X2=—=Xn=0是方程组的解.由已知方程组可知，在
11、X1,X2,…，Xn中，只要有一个值为零，则必有Xl=X2=—=Xn=0.所以当Xi工0，X2工0，…，XnM0时，将原方程组化为12解显然，Xl=X2=—=Xn=0是方程组的解.解显然，Xl=X2=—=Xn=0是方程组的解.将上面n个方程相加得又因为Xi为实数，所以、（丄门）G=h爲Sft）,所以（丄①2=0,工严1（1=1,2,…Q・经检验，原方程组的解为£=Ci,厘1二1,劭=0,=1>4或2&=5例9求满足方程
12、a-b
13、+ab=1的非负整数a，b的值.解由于a，b为非负整数，所以r1a-b1-r
14、a-b1=0>或彳ab-0；ab=1；解得例10当a,b为何
15、值时，方程
