第17讲 集合与简易逻辑-初二奥数教材.doc

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1、第十七讲*集合与简易逻辑§17．1集合　　我们考察某些事物的时候，常常要考虑由这些事物组成的群体，我们把这个群体叫作集合．组成某个集合的事物，叫作这个集合的元素．通常用大写字母A，B，C…等表示集合，小写字母a，b，c，…等表示元素．如果m是集合A的元素，就说m属于A，记作m∈A．如果n　　(i)你的家庭中所有成员组成一个集合，你和你的家庭中的其他各个成员都是这个集合中的元素．　　(ii)自然数全体1，2，3，…组成一个集合(通常把它叫作自然数集)．　　(iii)如果A，B是平面上两个不同的点，那么A，B两点所确定的直线上的点组成一个集合，这条直线

2、上每个点都是这个集合的元素．　　总之，集合是数学中一个最基本、最常用的概念，下面进一步给同学们介绍一些关于集合的基本知识．　　1．集合的描述方法　　(1)列举法　　当一个集合所含元素个数较少时，一个最简单的描述方法就是把它所含的每个元素都列举出来，这叫列举法．用列举法表示集合，通常是将这个集合的每个元素一一填写在｛｝中，每个元素之间用逗点隔开．填写集合的元素时，与元素的排列次序无关．例如：　　(i)由a，b，c，d，e五个小写字母组成的集合A，记作A=｛a，b，c，d，e｝，　　也可记作A=｛b，a，c，d，e)．　　(ii)由小于40的质数组成的

3、集合B，记作B=｛2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37｝．　　(iii)平方等于1的有理数集合C，记作C=｛1，-1｝．　　(iv)三条直线l1，l2，l3组成的集合D，记作D=｛l1，l2，l3｝．　　(2)特征性质描述法　　当一个集合所含元素较多时，用列举法描述很麻烦，这就要用到特征性质描述法．　　所谓特征性质是指集合中元素的特征性质，即：(i)这个集合中每个元素都具有这些性质；(ii)具有这些性质的事物都是这个集合的元素．　　例如，集合=｛1,-1｝用特征性质描述法表示就是A=｛x│x2=1｝，　　或者A=｛x││x

4、│=1｝．　　全体偶数组成的集合B，用特征性质描述法表示就是B=｛x│x是能被2整除的整数｝，　　或者B=｛2n│n是整数｝．　　全体奇数组成的集合C，用特征性质描述法表示就是C=｛x│x是不能被2整除的整数｝，　　或者C=｛2n＋1│n是整数｝，C=｛2n-1│n是整数｝．　　一般地，用特征性质α表示集合A的形式是：A=｛x│x具有性质α｝．　　2．集合之间的关系和运算　　(1)包含与子集　　(i)你班上的同学的集合和你学校的同学的集合之间的关系是：前者是后者的子集，后者包含前者．　　(ii)设集合　　例1设A=｛1，2，3，4｝，试写出A的所有

5、子集．　　｛1，3｝，｛1，4｝，｛2，3｝，｛2，4｝，｛3，4｝，｛1，2，3｝，｛1，2，4｝，｛2，3，4｝，｛1，3，4｝，｛1，2，3，4｝．　　(2)交集运算　　对于给定的集合A，B，由它们的公共元素所构成的集合叫作集合A与B的交集．我们用A∩B表示A，B的交集(图2-88)．例如　　(i)如图2-89，设A=｛x│x是12的正因数｝，B=｛x│5＜x＜13，x是整数｝，　　则　　A=｛1，2，3，4，6，12｝，B=｛6，7，8，9，10，11，12｝．　　所以A∩B=｛6，12｝．　　(ii)设l1，l2是平面上两条不同的直线，则

6、l1∩l2就是由它们的交点组成的集合．　　如果l1与l2相交于一点P，则l1∩l2=｛P｝(图2-90)；　　　　　(3)并集运算　　对于给定的两个集合A，B，把它们所含的元素合并起来所构成的集合，叫作集合A，B的并集，我们用符号A∪B表示A，B的并集(图2-92)．例如　　(i)设M，N分别表示你班上男生、女生的集合，那么M∪N就是你班上同学的集合．　　(ii)设A=｛1，3，5，7，9｝，B=｛2，3，4，5，6｝，　　则A∪B=｛1，2，3，4，5，6，7，9｝．　　注意在求上述集合A，B的并集时，虽然在A，B中都有3和5，但在A∪B中，3，

7、5只取一次．　　(iii)设E=｛x│x是实数，且x≥4｝，　　F={x│x是实数，且x≤-4}，G={x│x2≥16}．　　则E∪F=G．　　一般地说，如果α，β分别是集合A，B的特征性质，即　　A={x│x具有性质α}，B=｛x│x具有性质β｝，则A∪B就是那些具有性质α或性质β的元素组成的集合，也就是A∪B=｛x│x具有性质α或β｝，　　或者A∪B={x│x∈A或x∈B}．　　例2设　　A={x│x是12的正因数}，B={x│x是18的正因数}，C={x│0≤x≤5，且x∈Z}．　　求：(1)A∩B∩C；(2)A∪B∪C．　　解根据已知条件，

8、用填文氏图各区域的元素的方法来解决(如图2-93(a)，(b)).　　(1)A∩B∩C=｛1，2，3｝；　　(2)A∪B∪