第21讲 分类与讨论-初二奥数教材.doc

第21讲 分类与讨论-初二奥数教材.doc

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1、第二十一讲分类与讨论  分类在数学中是常见的,让我们先从一个简单的例子开始.  有四张卡片,它们上面各写有一个数字:1,9,9,8.从中取出若干张按任意次序排列起来得到一个数,这样的数中有多少个是质数?  因为按要求所得的数可能是一位数、二位数、三位数和四位数,我们分别给予讨论.  任取一张卡片,只能得3个数:1,8,9,其中没有质数;任取二张卡片,可得7个数:18,19,81,89,91,98,99,其中19,89两个是质数;任取三张卡片,可得12个数:189,198,819,891,918,981,199,919,991,899,989

2、,998,其中199,919,991三个数是质数;取四张,所得的任一个四位数的数字和是27,因而是3的倍数,不是质数.综上所述,质数共有2+3=5个.  上面的解题方法称为分类讨论法.当我们要解决一个比较复杂的问题时,经常把所要讨论的对象分成若干类,然后逐类讨论,得出结论.  分类讨论法是一种很重要的数学方法.在分类中须注意题中所含的对象都必须在而且只在所分的一类中.分类讨论一般分为三个步骤,首先确定分类对象,即对谁实施分类.第二是对对象实施分类,即分哪几类,这里要特别注意,每次分类要按照同一标准,并做到不重复、不遗漏,有些复杂的问题,还要

3、逐级分类.最后对讨论的结果进行综合,得出结论.  例1求方程x2-│2x-1│-4=0  的实根.  x2+2x-1-4=0,  x2-2x+1-4=0,x1=3,x2=-1.       说明在去绝对值时,常常要分类讨论.  例2解方程x2-[x]=2,其中[x]是不超过x的最大整数.  解由[x]的定义,可得x≥[x]=x2-2,  所以x2-x-2≤0,  解此不等式得-1≤x≤2.  现把x的取值范围分成4个小区间(分类)来进行求解.  (1)当-1≤x≤0时,原方程为x2-(-1)=2,  所以x=-1(因x=1不满足-1≤x<0

4、).  (2)当0≤x<1时,原方程为x2=2.  (3)当1≤x<2时,原方程为x2-1=2,  所以  (4)当x=2时,满足原方程.  例3a是实数,解方程x│x+1│+a=0.  分析方程中既含有绝对值,又含有参数a,若以平方化去绝对值的话,则引入了高次方程,把问题更加复杂化了.对这种问题,宜讨论x的取值范围来求解.  解(1)当x<-1时,原方程变形为x2+x-a=0.①  当△=1+4a≥0(且a=-x│1+x│>0),即a>0时,①的解为    (2)当x≥-1时,原方程为x2+x+a=0.②    又x≥-1,即     综

5、上所述,可得:当a<0时,原方程的解为         例5已知三角形中两角之和为n,最大角比最小角大24°,求n的取值范围.  解设三角形的三个角度数分别是α,β,γ,且有α≥β≥γ.由题设α-γ=24.  (1)若β+γ=n,则α=180°-n,  γ=α-24°=156°-n,β=n-γ=2n-156°.  所以156°-n≤2n-156°≤180°-n,  所以104°≤n≤112°.  (2)若α+γ=n,则β=180°-n,于是  所以  所以112°≤n≤128°.  (3)若α+β=n,则γ=180°-n,α=γ+24°=2

6、04°-n,β=n-α=2n-204°.于是180°-n≤2n-204°≤204°-n,  所以128°≤n≤136°.  综上所述,n的取值范围是104°≤n≤136°.  例6证明:若p是大于5的质数,则p2-1是24的倍数.  分析关于整数的问题,我们常把它分成奇数和偶数(即按模2分类)来讨论,有时也把整数按模3分成三类:3k,3k+1,3k+2.一般地,可根据问题的需要,把整数按模n来分类.本题我们按模6来分类.  证把正整数按模6分类,可分成6类:6k,6k+1,6k+2,6k+3,6k+4,6k+5.因p是大于5的质数,故p只能

7、属于6k+1,6k+5这两类.  当p=6k+1时,p2-1=36k2+12k=12k(3k+1).  因k,3k+1中必有一个偶数,此时24│p2-1.  当p=6k+5时,  p2-1=36k2+60k+24   =12k2+12k   =12k(k+1)≡0(mod24).  所以,P2-1是24的倍数.  例7证明  A=││x-y│+x+y-2z│+│x-y│+x+y+2z  =4max{x,y,z},  其中max{x,y,z}表示x,y,z这三个数中的最大者.  分析欲证的等式中含有三个绝对值符号,且其中一个在另一个内,要把绝

8、对值去掉似乎较为困难,但等式的另一边对我们有所提示,如果x为x,y,z中的最大者,即证A=4x,依次再考虑y,z是它们中的最大值便可证得.  证(1)当x≥y,x≥z时,  A=

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