《数值计算方法》课后题答案(湖南大学-曾金平)

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1、71习题一1．设>0相对误差为2%，求，的相对误差。解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：得（1）时；（2）时2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。（1）；（2）；（3）。解：由教材关于型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算（1）31.97+2.456+0.1352；（2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352==0.3457（2）

2、31.97+（2.456+0.1352）==0.3456易见31.97+2.456+0.1352=0.345612，故（2）的计算结果较精确。714．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？解：设该正方形的边长为，面积为，由解得==0.5%5．下面计算的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知，（A），（B）；（2）已知，（A），（B）；（3）已知，（A），（B）；（4）（A），（B）解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘

3、（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。（1）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。（2）（B）中两个相近数相减，而（A）中避免了这种情况。故（A）算得准确些。（3）（A）中使得误差增大，而（B）中避免了这种情况发生。故（B）算得准确些。（4）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。6．用消元法求解线性代数方程组假定使用十进制三位浮点数计算，问结果是否可靠？解：使用十进制三位浮点数计算该方程则方

4、程组变为（1）-（2）得，即，把的值代入（1）得71；把的值代入（2）得解不满足（2）式，解不满足（1）式，故在十进制三位浮点数解该方程用消元法计算结果不可靠。7．计算函数和处的函数值（采用十进制三位浮点数计算）。哪个结果较正确？解：==即，而当时的精确值为1.6852，故的算法较正确。8．按照公式计算下面的和值（取十进制三位浮点数计算）：（1）；(2)。解：（1）=（2）=9．已知三角形面积，其中。证明：。证明：由自变量的误差对函数值的影响公式：。得71=（当时，），命题得证。71习题二1．找出下列方程在附近的含

5、根区间。（1）；（2）；（3）；（4）；解：（1）设，则，，由的连续性知在内，=0有根。同题（1）的方法可得：（2），（3），（4）的零点附近的含根区间分别为；；2．用二分法求方程在内的根的近似值并分析误差。解：令，则有，，，所以函数在上严格单调增且有唯一实根。本题中求根使得误差不超过，则由误差估计式，所需迭代次数满足，即取便可，因此取。用二分法计算结果列表如下：0021-0.15851121.50.4962211.51.250.1862311.251.1250.015051411.1251.0625-0.0718

6、51.06251.1251.09375-0.0283561.093751.1251.109375-0.0066471.1093751.1251.11718750.00420881.1093751.11718751.11328125-0.00121691.113281251.11718751.1152343750.001496101.113281251.1152343751.11425781250.001398111.113281251.11425781251.11376953125-0.00053871121.11

7、3769531251.11425781251.114013671875-0.000199131.1140136718751.11425781251.1141357421875-0.0000297141.11413574218751.11425781251.114196777343750.000055由上表可知原方程的根该问题得精确解为，故实际误差为3．判断用等价方程建立的求解的非线性方程在1.5附近的根的简单迭代法的收敛性，其中（A）；（B）；（C）解：取1.5附近区间来考察。（A），显然当时，单调递减，而，，因此

8、，当时，。又当时，，由迭代法收敛定理，对任意初值，迭代格式，收敛。（B），则，，，所以当时，。又当时，，由迭代法收敛定理，对任意初值，迭代格式，收敛。（C），由于当时，有71，所以对任意初值（原方程的根除外），迭代格式发散。4．确定的简单迭代法的收敛区间。如果收敛，试估计使精度达到时所需的迭代次数并进行计算。（A）；（B）；（C）解：（A）方程为，设，则，，