《数值计算方法》课后题答案(湖南大学-曾金平).doc

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1、71习题一1.设>0相对误差为2%,求,的相对误差。解:由自变量的误差对函数值引起误差的公式:得(1)时;(2)时2.设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差不超过最后一位的半个单位,试指出他们各有几位有效数字。(1);(2);(3)。解:由教材关于型数的有效数字的结论,易得上面三个数的有效数字位数分别为:3,4,53.用十进制四位浮点数计算(1)31.97+2.456+0.1352;(2)31.97+(2.456+0.1352)哪个较精确?解:(1)31.97+2.456+0.1352==0.3457(2)31.97+(2.456+0.1352)==0.3456易见3

2、1.97+2.456+0.1352=0.,故(2)的计算结果较精确。714.计算正方形面积时,若要求面积的允许相对误差为1%,测量边长所允许的相对误差限为多少?解:设该正方形的边长为,面积为,由解得==0.5%5.下面计算的公式哪个算得准确些?为什么?(1)已知,(A),(B);(2)已知,(A),(B);(3)已知,(A),(B);(4)(A),(B)解:当两个同(异)号相近数相减(加)时,相对误差可能很大,会严重丧失有效数字;当两个数相乘(除)时,大因子(小除数)可能使积(商)的绝对值误差增大许多。故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。(1)(A)中两个相近数相减,而(B

3、)中避免了这种情况。故(B)算得准确些。(2)(B)中两个相近数相减,而(A)中避免了这种情况。故(A)算得准确些。(3)(A)中使得误差增大,而(B)中避免了这种情况发生。故(B)算得准确些。(4)(A)中两个相近数相减,而(B)中避免了这种情况。故(B)算得准确些。6.用消元法求解线性代数方程组假定使用十进制三位浮点数计算,问结果是否可靠?解:使用十进制三位浮点数计算该方程则方程组变为(1)-(2)得,即,把的值代入(1)得71;把的值代入(2)得解不满足(2)式,解不满足(1)式,故在十进制三位浮点数解该方程用消元法计算结果不可靠。7.计算函数和处的函数值(采用十进制三

4、位浮点数计算)。哪个结果较正确?解:==即,而当时的精确值为1.6852,故的算法较正确。8.按照公式计算下面的和值(取十进制三位浮点数计算):(1);(2)。解:(1)=(2)=9.已知三角形面积,其中。证明:。证明:由自变量的误差对函数值的影响公式:。得71=(当时,),命题得证。71习题二1.找出下列方程在附近的含根区间。(1);(2);(3);(4);解:(1)设,则,,由的连续性知在内,=0有根。同题(1)的方法可得:(2),(3),(4)的零点附近的含根区间分别为;;2.用二分法求方程在内的根的近似值并分析误差。解:令,则有,,,所以函数在上严格单调增且有唯一实根

5、。本题中求根使得误差不超过,则由误差估计式,所需迭代次数满足,即取便可,因此取。用二分法计算结果列表如下:0021-0.15851121.50.4962211.51.250.1862311.251.1250.411.1251.0625-0.071851.06251.1251.09375-0.0283561.093751.1251.-0.0066471.1.1251.0.81.1.1.-0.91.1.1.0.101.1.1.0.111.1.1.-0.71121.1.1.5-0.131.51.1.75-0.141.751.1.3750.由上表可知原方程的根该问题得精确解为,故实际

6、误差为3.判断用等价方程建立的求解的非线性方程在1.5附近的根的简单迭代法的收敛性,其中(A);(B);(C)解:取1.5附近区间来考察。(A),显然当时,单调递减,而,,因此,当时,。又当时,,由迭代法收敛定理,对任意初值,迭代格式,收敛。(B),则,,,所以当时,。又当时,,由迭代法收敛定理,对任意初值,迭代格式,收敛。(C),由于当时,有71,所以对任意初值(原方程的根除外),迭代格式发散。4.确定的简单迭代法的收敛区间。如果收敛,试估计使精度达到时所需的迭代次数并进行计算。(A);(B);(C)解:(A)方程为,设,则,,故有根区间为,题中,故迭代公式在含根区间内收敛

7、。(B)方程为,设,则,,故有根区间为,题中,故迭代公式在含根区间内收敛。(C)方程为,设,则,,故有含根区间,题中,5.对下点列用埃特金方法加速。71解:由埃特金加速公式计算,结果列下表:00.5403000.83110.8775810.48120.9449620.36030.9689140.9800750.9861460.989816.令初值,分别用牛顿迭代法,双点弦割法和单点弦割法求解方程的解。解:牛顿迭代法,,满足,由牛顿迭代法的收敛条件知当取初值为时迭代法收敛。牛顿迭代格式为:0113.522

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