数值计算方法课后题答案曾金平湖南大学

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1、习题一41．设x>0相对误差为2%，求x，x的相对误差。解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：Δ(())fxxδ(())fxf=≈'()()xδx得fx()fx()1（1）f()xx=时x11δδ()xx≈=()'()xxδ()*=2%1=%；x224（2）f()xx=时44xδδ()xx≈=()'()4()4*2%8%xxδ==4x2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。（1）x=12.1；（2）x=12.10；（3）x=12.10

2、0。解：由教材P关于xa=±aab"".bb"型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效912mn12数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算（1）31.97+2.456+0.1352；（2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.135221≈flfl((0.319710×+0.245610)0.1352)×+2=fl(0.344310×+0.1352)2=0.3457×10（2）31.97+（2.456+0.1352）21≈×fl(0.31

3、9710+×fl(0.245610))21=fl(0.319710×+0.259110)×2=0.3456×102易见31.97+2.456+0.1352=0.345612×10，故（2）的计算结果较精确。4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？2Δ(())fxx解：设该正方形的边长为x，面积为f()xx=，由δ(())fxf=≈'()()xδxfx()fx()2δ(())()fxfxδδ(())fxx(())fx解得δ()x≈===0.5%xfx'()xxi

4、225．下面计算y的公式哪个算得准确些？为什么？211−x2x2（1）已知x<<1，（A）y=−，（B）y=；121++xx(12)(1+x+x)211（2）已知x>>1，（A）y=，（B）yx=+−−x；11xxxx()++−xxx22sinx1cos2−x（3）已知x<<1，（A）y=，（B）y=；xx1（4）（A）y=−980，（B）y=98+0解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。故在设

5、计算法时应尽量避免上述情况发生。（1）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。（2）（B）中两个相近数相减，而（A）中避免了这种情况。故（A）算得准确些。2（3）（A）中sinx使得误差增大，而（B）中避免了这种情况发生。故（B）算得准确些。（4）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。6．用消元法求解线性代数方程组1515⎧xx+=101012⎨⎩xx+=212假定使用十进制三位浮点数计算，问结果是否可靠？解：使用十进制三位浮点数计算该方程则方程

6、组变为11616⎧⎪0.10010×+×=×xx0.100100.10010""""(1)12⎨111⎪⎩0.10010×+×=×xx0.100100.20010"""""(2)1216161（1）（-2）得0.10010×=×x0.10010，即x=0.10010×，把x的值代入（1）得x=0.000；22211把x的值代入（2）得x=×0.100102111⎧⎪x10.10010=×⎧⎪x10.10010=×解⎨不满足（2）式，解⎨不满足（1）式，故在十进制三位浮11⎪⎩x2=×0.00010⎪⎩x2=

7、×0.10010点数解该方程用消元法计算结果不可靠。327．计算函数f()xxxx=−+−331和gx()=((x−+−=3)x3)x1在x2.19处的函数值（采用十进制三位浮点数计算）。哪个结果较正确？31111解：f(2.19)=0.480×10×0.219×10−3×0.480×10+0.657×10−1221=0.105×10−0.144×10+0.657×10−11=0.16710×11g(2.19)=((−0.81)×0.219×10+3)×0.219×10−1111=0.123×10×0.21

8、9×10−1=0.16910×11即fx()=×0.16710，gx()=×0.1691032而当x=2.19时x−+−331xx的精确值为1.6852，故gx()的算法较正确。8．按照公式计算下面的和值（取十进制三位浮点数计算）：6111（1）∑i；(2)∑i。i=13i=6361111111解：（1）∑i=+++++23456=0.3330.1110.037+++++0.0120.0040.001i=1333