北京市东城区2016届高三数学一模试卷 文（含解析）

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1、北京市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（一）数学（文科）本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）若集合，，则（A）（B）（C）（D）【知识点】集合的运算【试题解析】因为，所以，故答案为：B【答案】B（2）已知直线与直线互相垂直，则（A）（B）（C）（D）【知识点】两条直线的位置关系【试题解析】因为直线与直线互相垂直，所以，故答案为：C【答案】C

2、（3）已知，，，则三个数的大小关系是（A）（B）（C）（D）【知识点】对数与对数函数【试题解析】因为所以，故答案为：A【答案】A（4）若满足则的最大值为（A）（B）（C）（D）【知识点】线性规划【试题解析】因为可行域如图，在AC上任何一点取得最大值3．故答案为：A【答案】A（5）已知数列的前项和，则（A）（B）（C）（D）【知识点】数列的求和【试题解析】因为故答案为：D【答案】D（6）在△中，角，，所对的边分别为，，，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【知识点】充分条件与必要条件【试题解析】因为所以，是充

3、分必要条件故答案为：C【答案】C（7）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的值分别为，，，则输出和的值分别为（A）（B）（C）（D）【知识点】算法和程序框图【试题解析】因为输出。故答案为：D【答案】D（8）函数的定义域为，图象如图1所示；函数的定义域为，图象如图2所示．若集合,，则中元素的个数为xy-1O121图2xy-1O11-1图1（A）（B）（C）（D）【知识点】函数图象函数及其表示【试题解析】因为即，即所以， 中元素的个数为 3故答案为：C【答案】C第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题

4、5分，共30分。（9）若复数是实数，则．【知识点】复数综合运算【试题解析】因为=为实数，故答案为：0【答案】0（10）以抛物线的焦点为圆心且过坐标原点的圆的方程为．【知识点】抛物线【试题解析】因为抛物线的焦点为,又过原点，所以，圆的方程为故答案为：【答案】（11）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC的正(主)视图与侧(左)视图的面积的比值为．【知识点】空间几何体的三视图与直观图【试题解析】因为正(主)视图与侧(左)视图对应的两个三角形等底等高，所以，面积相等，故面积的比值为1故答案为：1【答案】1（12）已知

5、函数①若，则实数；②在①的条件下，若直线与的图象有且只有一个交点，则实数的取值范围是．【知识点】函数图象分段函数，抽象函数与复合函数【试题解析】因为①②由图可知故答案为：①-1；②【答案】①-1；②（13）如图，在矩形中，点，分别在线段，上，且满足，，若，则．【知识点】平面向量基本定理【试题解析】因为 ．故答案为：【答案】（14）每年的三月十二号是植树节，某学校组织高中个学生及其父母以家庭为单位参加“种一棵小树，绿一方净土”的义务植树活动．活动将个家庭分成两组，组负责种植棵银杏树苗，组负责种植棵紫薇树苗．根据往年的统计，每个家庭种植一棵银杏树苗用时，种植一棵紫薇树苗用时.

6、假定两组同时开始种植,若使植树活动持续时间最短，则组的家庭数为，此时活动持续的时间为．【知识点】函数模型及其应用【试题解析】因为由已知得，得所以，故答案为：【答案】三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（15）（本小题共13分）已知函数．(Ⅰ)求的最小正周期；(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值．【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合【试题解析】（Ⅰ）．所以的最小正周期．（Ⅱ）因为时，所以．于是当，即时，取得最大值；当，即时，取得最小值．【答案】见解析（16）（本小题共13分）已知公差为正数的等差数列满足，，，成等比数列．(Ⅰ)求的通项公

7、式；(Ⅱ)若，分别是等比数列的第项和第项，求使数列的前n项和的最大正整数．【知识点】公式法，分组求和等比数列等差数列【试题解析】（Ⅰ）设数列的公差为，由已知可得，即，整理得，解得 (舍去)或．所以的通项公式为，．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，所以等比数列的公比．于是是以为首项，以为公比的等比数列．所以．由，得，即，则满足不等式的最大正整数．【答案】见解析（17）（本小题共14分）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，点是对角线与的交点，，，是的中点．(Ⅰ)求证：∥平面；(Ⅱ)平面平面；(Ⅲ)当三棱锥的体积等于时，求的长．【知识点】立体几何