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1、数列知识总结一．要点提示:1.数列的定义:按一定次序排列的一列数数列是定义在正整数集或其有限子集｛1，2，3，…，n｝上的函数当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值．数列的分类：①递增数列:对于任何,均有.②递减数列:对于任何,均有.③摆动数列:例如:④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数使.⑥无界数列:对于任何正数,总有项使得.2.数列的通项公式和前n项和:对于任意数列,其通项an和它的前n项和之间的关系是:,3.求数列通项公式的方法:①观察法:找项与项数的关系,然后猜想检验,即得通项公
2、式an,注意利用前几项得出的通项公式不一定唯一②利用通项和它的前n项和之间的关系（详见后面）;③公式法:利用等差数列,等比数列的通项公式求解④已知递推公式:迭加,迭乘,待定系数法等（详见后面）4.证明一个数列是等差数列,常用的两种基本方法:⑴定义法：（，是常数）是等差数列；⑵中项法：()是等差数列；证明一个数列是等比数列,常用的两种基本方法:⑴定义法：（，是常数）是等比数列；⑵中项法：()且是等比数列.(注意:通项的特点与前n项和的特点只用于判断，不用于证明其为等差数列)5.等差数列的性质:(1)数列为等差数列，(
3、2)数列为等差数列的充要条件是:其通项公式可以写成(a,b为实常数)(3)数列为等差数列的充要条件,推广(n>k>0)(4)数列为等差数列:若,则(5)数列为等差数列,去掉前m项,剩下的项构成等差数列推广：数列为等差数列,则每隔k项取m项的和仍构成等差数列(6)数列是公差为d的等差数列,则奇(偶)数项构成公差为2d的等差数列推广①:数列为公差为d等差数列:则在数列中每隔项取一项构成的数列a1,ak+2,a2k+3,a3k+4,…是公差为的等差数列推广②:数列是公差为d的等差数列,则项下标成等差数列（公差为k）的项也
4、成等差数列（公差为kd）(7)数列,项数相同的等差数列:则,,为常数)仍为等差数列(8)数列为等差数列,其前n项和可以写成(9)数列为等差数列:则数列中依次每连续m项之和构成的数列（即）为等差数列，公差；(10)数列为等差数列:表示奇数项的和,表示偶数项的和,若项数为2n项时,则有－=nd,/=an/an+1;若项数为2n-1项时,则有－=an,/=n/(n－1),（11）若等差数列的前项和，则（即）为等差数列，公差为.6.等比数列的性质:(1)数列为等比数列:(2)数列为等比数列:,推广(n>m>0)(3)数列为
5、等比数列:,则(4)数列为等比数列,取掉前若干项,剩余的项也构成等比数列推广：数列为等比数列,则每隔k项取m项的和(积)仍构成等比数列(5)数列为等比数列,则奇(偶)数项构成等比数列推广①:数列为公比为q等比数列:则在数列中每隔项取一项构成的数列是公比为的等比数列推广②:数列为等比数列,则项数成等差数列的项成等比数列(6)数列,为项数相同（可以都是无穷数列）的等比数列:则,,,,为常数)等仍为等比数列(7)数列为公比为q(q≠±1)的等比数列:则数列中连续项之和(积)构成的数列是等比数列(8)数列为等比数列:(表示
6、奇数项的和,表示偶数项的和)若项数为项时,则有/=q;若项数为－1项时,则有(－)/=q(9)递推公式为的递推数列,都可以转化为从而构造等比数列7.等差数列与等比数列比较:名称等差数列等比数列定义an+1―an=d为等差数列为等比数列通项公式an=a1＋(n－1)d=am＋(n－m)dan=a1qn－1=amqn－m前n项和公式中项a，A，b成等差数列，或2A=a＋b．a，G，b，成等比数列，或G2=ab8.等差数列与等比数列的关系:(1)各项为正的等比数列,其对数数列为等差数列(2)数列为等差数列,则数列为正常数
7、)为等比数列9数列求和的一般方法(结合于具体的示例讲解):①倒序求和法:(等差数列的求和);②错位相减法:适用于差比数列（如果等差，等比，则叫做差比数列）例1:求和:③裂项相消法:适用于数列和（其中等差）。可裂项为：，;（小技巧：消项前把加项写在一起，把减项放在一起，便于看出消项的规律）例2:求和:例3:求数列的前n项和④通项化归法:(化出通项,由通项确定求和方法，一般可以裂项);例4:求数列:的前n项和⑤公式法:(应用等差或等比数列的求和公式直接来求解)⑥分组求和法:(将一个数列分成几组,每组都可以用等差数列及或
8、等比数列的求和公式来求解);例5:求数列的前n项之和⑦∑求和记号法用=已知：注：(利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1证明1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6）： (n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1, n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1 .......... 3^3-2
