2011年广西高二数学竞赛初赛题参考答案及评分标准

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1、智浪教育--普惠英才文库2011年广西高二数学竞赛初赛题参考答案及评分标准一、选择题（每小题6分，共36分）1.答案：B.解析：不等式成立的充要条件是，故充分而不必要的条件选B。2.答案：D.解析：本题应知“共线，等价于存在使且”。故选D。3.答案：A.解析：由，知，所以，即是周期函数，周期为6．所以．选A．4.答案：C.解析：由已知可得，又由②-③得，代入①得，从而，再代入②，得.故选C.5.答案：D.解析：令，，，在上，为减函数，为增函数.要使上为减函数，应为增函数，故.为了保证在[-1,1]上恒成立，只需，即.因此，.故选D.6.答案：C.解析：由得，又，中必有一个是正整

2、数，且，故.选C.4智浪教育--普惠英才文库二、填空题（每小题9分，共54分）1．答案：250.解析：因为，，所以.又，。所以，当时，，；当时，，.所以.故.2．答案：.解析：易得，设，，要使，只需、在区间上的图象均在轴下方，其充要条件是，，，由此推出3．答案：.解析：由，知.设，则由题意有，解得，所以.4．答案：92.解析：易知，所以不是最大的.数列的最大项应满足，从而有，即.由①式可得，由②式可用反证法证得.因此，当取得最大值时.5．答案：.解析：由已知有，设，则.因在上单调递增，故，.4智浪教育--普惠英才文库6．答案：或.解析：设，记，其中含有个，则，以此类推有由题设可

3、知且所以或即或。三、解：由已知等式有，由正弦定理得，即：　　　　　　　　　　　　　　　　　……5分从而有所以（舍去）.　　　　　……10分又因，由正弦定理得.而，代入②，得　　　　……15分，从而有（舍去）或，所以，.　　　　……20分四、解：将代入，得，从而方程的两根分别为1、4，且由题设可知，方程的两根为正实数.……5分若4是该等比数列的第2项，则方程的两根应为16、64，这不符合韦达定理；若4是该等比数列的第4项，不符合韦达定理；……10分4智浪教育--普惠英才文库若4是该等比数列的第3项，则方程的两根应为2、8，符合韦达定理，此时.　　　　……15分同理，将代入，得，从

4、而方程的两根分别为1、9，均不合题意.……20分五、解：易知的反函数是，……5分于是由题意，有.而，所以，即，等价于……10分由(1)，得，所以有判别式≥0.当时，即时，方程有且只有一个实数解，满足条件要求；……15分当，即时，方程有两个相异实根：，.易见，满足要求.要使不满足要求，应有，解得.综合上述，可知当或时有且只有一个实数满足条件.……20分4