positive+solutions+of+a+singular+dirichlet+problem+to+nonlinear+elliptic+equations%3a+existence%2c+uniqueness+and+boundary+behavior论文

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3、∂Ω=0,(1.1)解的存在性、唯一解和解的边界行为.这里,Ω是RN中的有界光滑区域.q,p满足α(A2)Poisson问题−∆v1=q(x),v1>0,x∈Ω,v1

4、

5、∂Ω=0,和−∆v2=p(x),v2>0,x∈Ω,v2

6、∂Ω=0,分别存在唯一解v1,v2∈C2+α(Ω)∩C(Ω).g,f满足(g1)g∈C1((0,∞),(0,∞)),slimg(s)=∞且g在(0,∞)上是单调递减的;αf在(0,∞)上单调递减的);(f2)存在s0>0,使得f+s0在(0,∞)上单调递减的,且slimf+s0=0.本文的主要结果是:定理1在假设条件(g1),(f1)(或者(f01))和(f2)下,问题(1.1)存在唯一解u∈C2+α(Ω)∩C(Ω)的充分必要条件是(A1)和(A2)成立.下面关于解的边界行为,是在定理1解的存在唯一性的基础上得到的.定理2如果f满足(f

7、1),g满足(g2)存在Cg>0,使得slimg(s)0sdvg(v)=−Cg,q满足(Q1)q1:=d(lim0+infq(x)a2(d(x))1,µi∈R对于

8、j+1≤i≤m.则问题(1.1)的唯一解u满足1−Cg≤d(lim0+infu(x)ψ1(h2(d(x)))≤d(lim0+supu(x)ψ1(h2(d(x)))1−Cg,这里ψ1是问题0ψ1(t)dsg(s)=t,t∈[0,∞),的解,且h2(t)=(lnjt−1)−(µj−1)mi=j+1(lnit−1)−µi,ξ1=q1µj−1,ξ2=q2µj−1.特别的,(i)若Cg=1,可知u满足d(lim0+u(x)ψ1(h2(d(x)))=1;(ii)若Cg<1且q1=q2=q0,可知u满足这里d(lim0+u(x)ψ1(h2(d(x)))1−C(

9、Q2)定理3若f满足(f1),q满足ξ01=q0µj−1.q1:=d(lim0+infq(x)k2(d(x))2,则问题(1.1)的唯一解u满足1−Cg≤d(lim0+infu(x)ψ1(K2(d(x)))≤d(lim0+supu(x)ψ1(K2(d(x)))1−Cg,iia(t)=tξ1≤ξ2x)→x)→x)→=ξ01g,x)→x)→x)→ξ3≤ξ4x)→x)→这里tK(t):=k(s)ds,0其中k∈Λ,Λ代表C1(0,δ0)∩L1(0,δ0)(δ0>0)中的单调正函数,且其满足

10、tlimdK(t)(dtk(t)):=Ck∈[0,∞),ξ3=q12(Ck+2Cg−2),ξ4=q22(Ck+2Cg−2).特别的,(i)若Cg=1,可知u满足d(lim0+u(x)ψ1(K2(d(x)))=1;(ii)若Cg<1且q1=q2=q0,可知u满足这里d(lim0+u(x)ψ1(K2(d(x)))1−C定理4若f满足(f01)和ξ02=q02(Ck+2Cg−2).(f3