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1、题型一、求椭圆的标准方程例一．解析：（1）∵椭圆的焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为（），∵，，∴，所以，椭圆的标准方程为。（2）∵椭圆焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为（），由椭圆的定义知，，∴，又∵，∴，所以，椭圆的标准方程为。（3）∵焦距为，∴，∴，又∵，∴，，所以，椭圆的标准方程为或．（4）设椭圆方程为（），由得，所以，椭圆方程为．例2.解析：（1）设动圆的半径为r，动圆圆心P为(x，y)，根据已知条件得
2、PC1
3、＝1＋r，
4、PC2
5、＝9－r，则
6、PC1
7、＋
8、PC2
9、＝10.∴P点的轨迹为以C1(－3,0)、C2(3,
10、0)为焦点，长轴长2a＝10的椭圆，则a＝5，c＝3，∴b2＝16，所求椭圆的方程为（2）用定义得题型二、椭圆的几何性质的应例三1.解：不妨设F1（－3，0），F2（3，0）由条件得P（3，±），即
11、PF2
12、=，
13、PF1
14、=，因此
15、PF1
16、=7
17、PF2
18、，故选A。题型三、直线与椭圆的综合应用例5．DFByxAOE（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为，直线的方程分别为，．如图，设，其中，且满足方程，故．①由知，得；由在上知，得．所以，化简得，解得或．（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，．又，所以四边形的
19、面积为，当，即当时，上式取等号．所以的最大值为．解法二：由题设，，．设，，由①得，，故四边形的面积为，当时，上式取等号．所以的最大值为．例6.解:(1)由知,设,因在抛物线上,故…①又,则……②,由①②解得,.而点椭圆上,故有即…③,又,则…④由③④可解得,,∴椭圆的方程为.(2)设,,由可得:,即由可得:,即⑤⑦得:⑥⑧得:两式相加得又点在圆上,且,所以,即,∴点总在定直线上.例7解：(1)设P的轨迹方程为（a>2）cos∠F1PF2最小值为，a2=3∴P点轨迹方程为（2）设A（x,y）,B(x2,y2)∵∴
20、MA
21、2=
22、
23、MB
24、2∴x+(y1+1)2=x22+(y2+1)2∴(x1+x2)(x1－x2)+(y1+y2+2)(y1－y2)=0∴∴(x1+x2)+k(y1+y2+2)=0(A)两式相减得∴代入（A）k(－2y1－2y2+2)=0∵k≠0∴y1+y2=1∴x1+x1=－3k设直线方程为:y=kx+b(3k2+1)x2+6bkx+3b2－3=0x1+x2=2b=3k2+1△=(6bk)2－4(3k2+1)(3b2－3)>0∴3k2+1>b2∴3k2+1>()2k2<1∴k∈（－1，1）（3）4x2+6mx+3m2－3=0设A（x1
25、,y1）,B(x2,y2)∴
26、x1－x2
27、=
28、AB
29、=∴m=±m=时，M到距离d1=m=－时，M到距离d2=－例8、[解析]：设，由OP⊥OQx1x2+y1y2=0又将，代入①化简得.(2)又由（1）知，∴长轴2a∈[].例9.解：（1）由题意知，圆A的方程为，圆B的方程为，…………2分解方程组得，…………4分（2）因点P在直线上，所以即，…………6分所以．…………8分（3）由（1）有，所以此时所求椭圆方程为，…………9分设是椭圆上一点，则，其中，1°若时，则当时，有最大值，由得或（都舍去）；…………13分2°若时，则当时
30、，有最大值，由得（舍去负值）；…………15分综上所述，所求椭圆的方程为．例10.解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，故曲线C的方程为．3分（Ⅱ）设，其坐标满足消去y并整理得，故．5分若，即．而，于是，化简得，所以．8分（Ⅲ）．因为A在第一象限，故．由知，从而．又，故，即在题设条件下，恒有．12分
