【数学】上海市复旦大学附属中学2014-2015学年高一上学期期中考试

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1、复旦大学附属中学2014-2015学年第一学期高一年级数学期中考试试卷（时间90分钟，满分120分）一、填空题（每小题4分，共44分）1、用列举法表示集合_______.【答案】；【解析】由，则必有，所以.2、命题“若，则”的否命题是_______.【答案】若，则；【解析】命题的否定是同时对条件与结论进行否定.3、函数的定义域为_______.【答案】；【解析】由，即，本题需注意定义域只能写成区间或是集合的形式，避免写不等式的形式.4、已知集合，则满足的集合有_______个.【答案】4;【解析】由条件可知，，所以符合条件的集合的个数即为集合的子集的个数，共4个.5、已知，且，则的最大

2、值为_______.【答案】；【解析】由基本不等式可以直接算出结果.，当且仅当时取等号.6、已知集合，，则_______.7【答案】；【解析】，解之,即结合数轴标根法，可以得到其解为，即，所以.7、不等式对恒成立，则实数的取值范围为_______.【答案】；【解析】对二次项系数进行讨论①当即时，不等式显然成立；②当，欲使不等式对恒成立，则需满足，解之；综合①②，则实数的取值范围为.8、若关于不等式的解集为，则关于不等式的解集为_______.【答案】;【解析】由不等式的解集为，可得，所以，，所以可转化为，结合，所以有，即不等式的解集为.9、在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个

3、“类”，记为，即，.给出下列四个结论：①；②；③；④“整数属于同一‘类’”的充要条件是“”.其中，正确结论的个数是_______.【答案】3个；【解析】①正确，由于能够被5整除；②错误，，故；③正确，7将整数按照被5除分类，刚好分为5类；④正确.10、某物流公司计划在其停车库附近租地建仓库，已知每月土地占用费（万元）与仓库到停车库的距离（公里）成反比，而每月库存货物的运费（万元）与仓库到停车库的距离（公里）成正比.如果在距离停车库18公里处建仓库，这两项费用和分别为4万元和144万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库到停车库的距离_______公里.【答案】；【解析】设，（为常数），由

4、时，，，可知，所以，，当且仅当时取等号.11、设，若时，均有成立，则实数的取值集合为_________.【答案】【解析】可以取特殊值代入，得，所以，存在且唯一.也可以结合数轴标根法，但此时注意需有重根出现才能符合题意，最后讨论也可求出结果.二、选择题（每题4分，共16分）12、三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（）”的几何解释.A.如果，，那么B.如果，那么C.对任意实数和，有，当且仅当时等号成立D.如果，那么【答案】C；【解析】可将直角三角形的两直角边长度取作，斜边为（），则外围的正方形的面积为，也就是，四个阴影面积之

5、和刚好为，对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立.13、设取实数，则与表示同一个函数的是（）7A.，B.，C.，D.，【答案】B；【解析】A选项对应关系不同，，；C、D选项定义域不相同.14、是成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A.【解析】充分性显然成立，必要性可以举反例：，，显然必要性不成立.15、在关于的方程，，中，已知至少有一个方程有实数根，则实数的取值范围为（）A.B.或C.或D.【答案】C；【解析】可以采用补集思想.三个判别式均小于0的条件下取交集后再取补集即可.三、解答题（共6大题，满分60分）16、（本题满分8分）解

6、关于的方程：.【答案】或；【解析】或，解之或.17、（本题满分8分，每小题4分）设关于的不等式：.（1）解此不等式；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）①当时，不等式的解为；②当时，不等式的解为；③当且时，不等式的解为；（2）；7【解析】（1），即有，所以①当时，不等式的解为；②当时，不等式的解为；③当且时，不等式的解为；（2）由于，所以符合；结合（1）可以得到：，解之；或，解之.综上.18、（本题满分10分）已知，，其中，全集.若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】；【解析】由“”是“”的必要不充分条件，可得，所以，而，，令的根为，则必有，解之.19、（本题满

7、分10分）现有四个长方体容器，的底面积均为，高分别为；的底面积均为，高分别为（其中）.现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜.问先取者在未能确定与大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？【答案】只有1种，就是取.【解析】当时，则，即；7当时，则，即；又所以在不知道的大小的情况下，取能够稳操胜券，其他的都没有必胜的把握.20、（本题满分12分，第一小题3分，第二小题4分，第三小题5分）定义实数间的计算法则如下：