第5讲 灵敏度分析

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1、系统工程讲义第5讲灵敏度分析灵敏度分析是指对系统因环境变化显示出来的敏感程度的分析。在线性规划问题中讨论灵敏度分析，目的是描述一种能确定线性规划模型结构中元素变化对问题解的影响的分析方法。前面的讨论都假定价值系数、资源系数和技术系数向量或矩阵中的元素是常数，但实际上这些系数往往只是估计值，不可能十分准确和一成不变。这就是说，随着时间的推移或情况的改变，往往需要修改原线性规划问题中的若干参数。因此，求得线性规划的最优解，还不能说问题已得到了完全的解决。决策者还需要获得这样两方面的信息：一是当这些系数有一个或几个发生变化时，已求得的最优解会有什么变化；二是这些系数在什么范围

2、内变化时，线性规划问题的最优解（或最优基）不变。显然，当线性规划问题中的某些量发生变化时，原来已得的结果一般会发生变化。在单纯形法迭代时，每次运算都和基有关，所以可以把发生变化的量经过一定计算，直接反映进最终单纯形表并按表5-1处理。表5-1原问题对偶问题结论或继续计算的步骤可行解可行解最优解可行解非可行解用单纯形法求解最优解非可行解可行解用对偶单纯形法求解最优解非可行解非可行解引入人工变量求解最优解4.1资源系数变化的分析资源系数发生变化，即发生变化的灵敏度分析；该类问题关键是如何将的变化直接反映进原问题的最终单纯形表。单纯形法的迭代过程，其实不过就是矩阵的初等变换过

3、程；而线性代数的知识告诉我们，对分块矩阵进行初等变换，当矩阵变为单位矩阵时，单位矩阵将变为矩阵，即：由此可知，如果已知最终单纯形表中基可行解所对应的基“”（最终单纯形表中的基变量在初始单纯形表中的列向量所构成的矩阵），即可在最终单纯形表中找到“”（初始单纯形表中的单位矩阵在最终单纯形表中所对应的矩阵），而最终单纯形表中的每一列均可用其在初始单纯形表中的相应列左乘来得到；即。[例5-1]已知LP问题+2=5+3=2单纯形求解可得如表5-1所示的最终单纯形表，问（1）在什么范围内变化时，最优解（在此实际上是最优基）保持不变；（2）由2增加至15，求新的最优解。表3-11cj

4、-5-12-40MCBXBx1x2x3x4x5-12-5x2x101-1/52/5-1/5107/51/52/58/59/5sj00-3/5-29/52/5-Mw=-141/5解（1）：给一个增量并利用将变化直接反映进最终单纯形表。为保持最优解不变，应有，即：，，所以有的变化范围应在之内。解（2）：将直接反映进最终单纯形表，得表3-12。6系统工程讲义表3-12cj-5-12-40MCBXBx1x2x3x4x5-12-5x2x101-1/52/5-1/5107/51/52/5-17sj00-3/5-29/52/5-Mw=-23利用对偶单纯形法继续迭代，可得如表3-13所

5、示的新的最优解。表3-13cj-5-12-40MCBXBx1x2x3x4x5-4-5x3x10-51-211703-150sj0-30-71-Mw=-204.2价值系数变化的分析将原迭代过程继承下来，价值系数的变化只会对最终单纯形表中的检验数发生影响，而与其他量无关。因此，将变化的价值系数反映进最终单纯形表，只需对检验数行进行修正。[情况1]价值系数发生变化的变量在最终单纯形表中为非基变量价值系数发生变化的变量在最终单纯形表中为非基变量，所以将变化的价值系数反映进最终单纯形表只会影响此变量自身的检验数，而与其他变量的检验数无关。[例3-7]已知LP问题++=3+4+7=

6、9单纯形求解可得如表3-14所示的最终单纯形表，问（1）在什么范围内变化时，最优解保持不变；（2）由“-1”减少至“-6”，求新的最优解。解（1）：由于在最终单纯形表中是非基变量，因此的变化只会影响自身的检验数，而与其他变量的检验数无关。计算变化后的并令其非负，即可求得保持最优解不变的变化范围。表3-14cj-2-3-100CBXBx1x2x3x4x5-2-3x1x210-14/3-1/3012-1/31/312sj0035/31/3w=-8，即只要，就可以保持最优解不变。解（2）：将直接反映进最终单纯形表，用单纯形法继续迭代即可得到新的最优解，过程见表3-15。表3-

7、15cj-2-3-600CBXBx1x2x3x4x5-2-3x1x210-14/3-1/301[2]-1/31/312sj00-25/31/3w=-8-2-6x1x311/207/6-1/601/21-1/61/621sj0104/32/3w=-106系统工程讲义[情况2]价值系数发生变化的变量在最终单纯形表中为基变量因为基变量的价值系数发生变化会引起的变化，进而可能引起整个检验数行的变化。[例3-8]对于例3-7中的线性规划问题，问：（1）在什么范围内变化时，最优解保持不变；（2）由“-2”减少至“-6”，求新的最优解。表3-16cj-