第5章 结构优化的灵敏度分析

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1、车辆结构优化设计左文杰研究方向：结构优化设计车身结构轻量化专用CAE软件开发吉林大学机械学院信箱：zuowenjie@jlu.edu.cn1第5章结构优化的灵敏度分析5.1引言5.2静态灵敏度分析5.2.1差分法5.2.2直接解析法5.2.3伴随变量法5.2.4半解析法5.3动态（频率）灵敏度分析5.4车身扭转刚度灵敏度分析5.5车身弯曲刚度灵敏度分析5.6车身动刚度灵敏度分析5.7轿车车身灵敏度分析例子5.8客车车身灵敏度分析例子5.9板壳单元结构灵敏度分析5.10Optistruct灵敏度分析25.1引言推荐参考文献：ANINTEGRATEDAPPROACHFORTOPOLOGY

2、,SIZINGANDSHAPEOPTIMIZATIONM.Zhou,N.Pagaldipti,H.L.ThomasandY.K.ShyyAltairEngineering,Inc.zhou@altair.com35.1引言例子：25杆输电铁塔响应：节点1,2的位移uu,12设计变量：x123,,,...,xxx25结构自由度数为3045.2静态灵敏度分析以静态灵敏度分析为例，静力学有限元平衡方程为：KxuxR()()响应：u,,jjj尺寸优化：杆梁的横截面参数、壳的厚度、弹性和质量属性设计变量x=形状优化：节点位置拓扑优化：密度，弹性模量等55.2静态灵敏度分析前奏：平方根法求

3、解对称正定矩阵方程组Ku=R的计算量一、三角分解计算T3KLL计算量为n/6n结构自由度数二、回带计算T2LLuR计算量为nn结构自由度数65.2.1差分法需重新求解1次有限元方程Ku=R绝对灵敏度uuu()xxx()iiixxii相对灵敏度u((uuxxxx)())()uiiiixxxiii原则：根据设计变量的量纲来选择不同的差分灵敏度分析方法。量纲一样选取绝对灵敏度分析方法；量纲不同选取相对灵敏度分析方法。分解次数N1vN为设计变量个数计算量v回带次数N1v75.2.2直接解析法对平衡方程两边关于设计变量xi求导，KxuxR()()得Ku

4、RuKxxxiii当外载荷R不随设计变量改变时，得到位移灵敏度的解析公式uKKuxxii分解次数1N为设计变量个数计算量v回带次数Nv85.2.2直接解析法例子：K计算，以桁架为例。xiEx11Ke,x为杆单元截面积1.l11eeTeee2.KTK()T3.KKeeTeeeKKTii[()KT]eTKie4.1.()TTxxxxiiiinceKjnneeTieniKccKT()KTcKjjj0eTje4.2.()TTxxiijj00xixij0xi4.1式每个杆单元独

5、享一个设计变量4.2式n个杆单元共享一个设计变量，也叫组件灵敏度分析，更贴近工程c95.2.2直接解析法例子：刚度矩阵组装的动画105.2.3伴随变量法伴随变量法(adjointvariablemethod)静力学分析中，位移、应力的第j个响应gj可以表达为位移向量uT的函数gjQuj响应gi对第i个设计变量x的偏导数为iTgQujjTuQjxxxiiiuK将Ku代入上式，得xxiiTgQKjjTuuujxxxiii其中KujQj向量uj与Qj分别定义为伴随位移与伴随载荷。115.2.3伴随变量法伴随变量法算例：25杆铁塔的位移灵敏度分析

6、25杆桁架算例的伴随载荷为TQ[1,0,0,...,0]1Q为20个元素的列向量，第1个元素为1，其余都为01TQ[0,1,0,...,0]2Q为20个元素的列向量，第2个元素为1，其余都为02u的灵敏度u1uuTKKuQ1111xxii分解次数1伴随变量法计算量Nr为响应的个数回带次数Nr当设计变量的个数远大于响应的个数时，采用该方法。125.2.4半解析法KKK()xxx()iiixxii适用于形状优化：因为形状优化中刚度矩阵关于节点坐标的偏导数计算较为繁琐。Optistruct的HyperMorph工具处理形状优化。Shapeperturbati

7、onvectorscanbecreatedusingHyperMorph.135.3动态（频率）灵敏度分析结构振动的有限元方程（特征值方程）：2()KMu0(1)ii特征值向量u是关于质量矩阵M正则化iTuMu1(2)ii将(1)式对设计变量求x导数，得k=0=0KM22u(2ii)()(3)MuKM0iiiixxxxkkkkT用u左乘(3)式，并利用(1)式，得到频率灵敏度公式ii1TKM2uu()