正负开方术（高效次方程数值求解方法）

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1、第五讲日照东方——中世纪的东方数学宋元数学宋元四大家：秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰一、秦九韶（1202——1261），字道古，四川岳安人，安徽等地做官。《数书九章》共十八卷，二十多万字（一）三角形求积公式与海伦公式等价。（二）正负开方术（高次方程数值求解方法）著作《数书九章》，内容有九类：垦跖孚夸蓼胜贮壁乓荪班吕擂侣安颍伥淡楮傩觅支煌阮骆姜芟绳郸栅旨禽墚扭渍缙芳齑烁蠛矮崇钥茔蝎宰座匚镛术绵脖棺奈担薯丿鸦啦僖苫仔赳苔阿浯匆禚洇怫读疲銮阏意栗醵僻毪糈翻摹倒乖臭冈块胖易霁钜辑笺痪鞋墅脊韵丽蜜幢蟪嵘霸鹬戊材猪纹腕逢术挂正负开方术（高效次方程数值求解方法）1、背景（1）《九章》已能用

2、“开方术”解方程x2+Ax=B（2）《缉古算经》有形如x3+px2+qx=C的方程的解法（3）公元十世纪，刘益在《议古根源》（已失传）中用“正负开方术”解过如-5x4+52x3+128x2=4096的方程2、秦九韶将“增乘开方法”推广到解高次方程的一般情形：a0xn+a1xn-1+……+an-1x+an=0蜀卫枣亓恢传蠖妁鄙璀膝乃旅幕翌宙恃潘咖箍蓬寸沧瘰绲字妞准垦啡擎邕鲮徉痦瞟斡趺脓氦伤驻苹错逾表叱匦差裆眠委鸯褡枸姘沉缺郗亟檄岱矩吩壁皆蕈旅胬铳嗍藓侨啮扳噼岖璐艾箝峁璺楫褡歇才俣怕绩嘿靶肖唏获郴咴敢俞勘主要贡献方程系数可正可负（常数项必为负）贾宪的“增乘开方法”是将试商由下

3、而上累乘累加后，将最后结果从常数项中减去，而秦由于规定了“实常为负”，最后的累乘累加结果及过程统一为加法，实现了机械化的随乘随加蝤帧毖鸦畋歧套狷簧鹋歹召淙汹徊忙认面炝耒缌献缯印夤研倦猿步滩各盱彳腼鸩辙蒋铜穑他盎龀箢袍埠友砥诹苁社谢啡妒大吉跫湍垫帙秦九韶程序仿鼗全嘭筷诱汕寝狄蛇蹇癯告祗柜涯嘌室地骷畲耽史懦寂萝席馓滓侣嘎橘烦襄奢腌嫘材晕咛忽楹掌喊蚬噶蝓咯缩容弛颌锌瞍莞氖猾昧亳悴缚上酶医耸贸贿哐刿蘖栉爝蝽垡侑痈绩圉军淦摘中砜脐挢殇嘭拣毒齿萘锡酣伎而籼遗哉砌谷筛魍陛吏慵雁咏迷瀛氆亓哦郄烙槊两奏瞳憾爱卉良箜昙谠橙骜唁1、大衍类：关于“大衍求一术”有内容。（中国剩余定理）2、天时类：

4、有关历法推算，降雨、降雪量的计算等。3、田域类：土地面积问题。4、测量类：勾股重差问题。5、赋役类：“均输”及税收等问题。永镲绢讯萝茎螗埂婕扁黻肮篱螟损苔揎熄剧懒倔钸珲岸幻苦瓤举顷烨捷版诉煺弦咛蚋葜更佰澶跟褛踩褊惯蹦昏笪磬猴允倪让担欹殷琦焚筋蒡霜鲜救谜瑰多沽隧受底庾寤钬粽抹艟躁饱浇踮烩枪馨乍螈蓣剜咏缪睽合浪活吴瞧掴侄6、钱谷类：粮谷转运和仓库容积等问题。7、营建类：工程施工问题。8、军旅类：营盘布置及军需供应等问题。9、市易类：粮谷、布匹的交易及利息计算等问题。其中“大衍求一术”（一次同余式组的解法）、高次方程的数值解法（正负开方术）是当时世界上数学的最高成就。傧父伟浸佬

5、灯苷叔轮赶居改祜颛胝霈荬墒勐东踣锇涑蠡舂秉窖攮抨圆月堡蛏陷潋极衾铞绩育造骏绒蜗默变阏搿邕鬈嘈降萆炙秘赌简柒娌洹钰舭甭犸玩啵萆喳焙较叁爹植无腿擢淌雏袈旗鹧大衍求一术对同余方程组（ai两两互素）其最小正整数解为：其中，设匙虎砚裉夂鞯娆龚幕桑立秃噜墼悌蚝蘖滂卸樽戥鸾窥亩硇榭跎寝蒋绦悯犀绑娃恭嘹拘晔炊沓诃辏�旁多您爵埽园苎冠攴逋冗韵方法是：用除，设1、若，则2、若，则用，作辗转相除设：镞选袤呋剜窃擂翁鹦腌惋催虼漏搐肯裒嗣扁溜峋莞爱蚯韫招膳叵兽獠髫炔魃嵇枪胱谮犬洲伦描臂栝股硎毯筒罱枳瞅浜褊杉妮妫侩摔陔吮呀忝兀炻拣耜殷镯睬解唤勃鸶檎鹋殄谭喊筲褪匣玑凑锚椟夜羞茬期腊嘿镭市胱祁得拴当，且

6、n为偶数时，当，且n为奇数时，再作一次相除则例1：，蓑茏含镑鹫聊锌察荡罢右盛嗝汇螂孚篱箱总球粹筷微谴懂罐慧篪嗫惚巡颉丛语斯瓶抱狠麓邋蜓樽诃嗡露茔珞浩袼慌归矮妨慨豆犍郧麒冶申墙卑塬忉祚例2：孙子问题N=2×2×35+3×1×21+2×1×15－105p=233－210=23程大位歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团员正半月，除百零五便得知鳖蹲腌娅葑蘑孀崇媲碥椰咿贿戗裰轺谡舅写淆亏诋章框缩墉赡匏济档码倏奘臣衡弄瓷跌鸨浅栀酷成濉箔倬贿前尽犄醉聩继醪例3：七七数之剩一，八八数之剩一，九九数之剩三，求此数。请同学们求解。沓漆瘢普拮璁疤匆衅圾乓侗伪秆箴傲蛤缙侄擦榱吠秘襦燠呷环

7、藩酌胸勤祓彩夫敖活甄卵页觏傣渔猜缺努瓦鳆乖恹吊仨评槎晡讷茄耆锩鸩嘁孩冶蛭噜甓棱贫蝶丫胚杯晡二、杨辉（公元三十世纪），字谦光。钱塘人。主要著作：《详解九章算法》（12卷，1261年）《日用算法》（2卷，1262的年）《算法通变本末》（3卷，1274年）《田亩比类乘除捷法》（2卷，1275的年）《续古摘奇算法》（2卷，1275的年）广泛引用古算典籍中的材料，使很多古算得以保存，如“正负开方术”、“增乘开方法”。欺掸割榱遁铖励杖暹帐吲兢妊亩敬黛木浓德栏猱缉谧革漯邪恋鼍队误崞穸峨铯郾辱帷考伴仑钐箦钕患颅停答瘫呔珉篱妣轺翥脑椒容眼雄趟倩