初中数学第28章操作闻题和逻辑推理闻题竞赛专题复习（人教版有答案）

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1、初中数学第28章操作闻题和逻辑推理闻题竞赛专题复习（人教版有答案）第一次操作后第二次操作后第三次操作后第四次操作后1111这是因为，因此，最多只需操作四次，圆周上全是黑子了．28.1.22****正五边形的每个顶点对应一个整数，使得这五个整数的和为正数．若其中三个相邻顶点对应的整数依次为、，，而中间的，则要进行如下的变换：整数、、22初中数学第28章操作闻题和逻辑推理闻题竞赛专题复习（人教版有答案）第一次操作后第二次操作后第三次操作后第四次操作后1111这是因为，因此，最多只需操作四次，圆周上全是黑子了．28.1.22****正五边形的每个顶点对应一个整数

2、，使得这五个整数的和为正数．若其中三个相邻顶点对应的整数依次为、，，而中间的，则要进行如下的变换：整数、、22分别换为、、．要是所得的五个整数中至少还有一个为负数，这种变换就继续进行．问：这样的交换进行有限次后是否必定终止？解析不妨设圆周上五个数依次为、、，，，且，变换后得到、、、、，其和不变．现考虑五个数的平方及每相邻两数和的平方之和．那么变换后与前之差是．因此，这一和（一个正整数）每经过一次变换都至少要减少2．由于正整数不能无限减小，所以该变换必定有终止的时候．28.1.23****给定4个全等的直角三角形纸片，进行如下操作：每次可选一个直角三角形并将

3、它沿斜边上的高剪开成两个直角三角形．求证：无论经过多少次操作，在所得到的三角形中总有两个全等（不包括重叠情形）．解析用反证法．即存在4个全等的直角三角形纸片，经过有限次操作可使所得到的直角三角形互不全等．设这样的操作的最少次数为，这里操作22次可以使得到的直角三角形互不全等且与操作顺序无关．开始时4个全等直角三角形必须有3个要沿斜边上的高剪开．不妨设开头的3次操作就是剪开这3个三角形．于是得到新的6个直角三角形可分成两组，每组3个直角三角形彼此全等．这样一来，每组3个全等直角三角形中又都至少剪开两个．不妨设第4至第7次操作就是剪开这4个三角形．注意这时剪开

4、得到的8个直角三角形中有4个是全等的（相当于两个矩形沿它们的一条对角线剪开）．按假设，从这4个全等的直角三角形出发，只要再操作次就可以得到互不全等的三角形，此时与的最小性矛盾！这表明无论经过多少次操作，总有两个三角形全等．28.1.24****3个数、、围着一圆周，依次将其改为、、，叫做完成一次操作，求证：如果起初的、、是非零整数（或有理数），则若干次操作后迟早会出现0，但可以找到3个实数、、，使得无论经过多少次操作，0都不会出现．解析用反证法．当、、是整数时，如果0永远不出现，考虑每次操作后最大的那个数，在下一次操作后，至少要减去1，但正整数是不能无限减

5、少的，因此0必定会出现．至于有理数情形，只要乘以各分母的最小公倍数，便转化为整数问题．最后讨论实数问题，先证明一个结论：设、、为整数，且，则．为此，只要将两端平方，即得，但无论是还是，总能得出另外两个数也为0．证毕．于是令，，，第一次操作后其中一项为或，即“奇数×1+奇数×+偶数×”，另外两个数分别为“奇数×1+偶数×+奇数×”和“偶数×1+奇数×+奇数×22”．第二次操作后，这种状态不变，因此无论经过多少次操作，这种状态一直保持不变，由前面的结论，即知永远不会出现0．评注对于一般的圆周上（>3）个数，上述结论全部成立，不过实数情形颇不易处理．28.

6、1.25****沿着圆周放着一些数，如果有相连的4个数、、、满足不等式，那么就可以交换、的位置，这称为一次操作．（1）若圆周上依次放着数1、2、3、4、5、6，问是否能经过有限次操作后，对任意相连的4个数、、、都有？（2）若圆周上依次放着数1，2，…，2003，问是否能经过有限次操作后，对任意相连的4个数、、、都有？解析（1）（2）答案是肯定的．考虑这2003个数的相邻两数乘积之和，开始时．若圆周上相连的4个数、、、满足不等式，即，交换、位置后，相连的4个数为、、、，于是圆周上相邻两数乘积之和的改变量为，即≤，所以每作一次操作，乘积和至少减少1，由于相邻两

7、数的乘积和不可能为负的，故经有限次操作后，对任意相连的4个数、、、，一定有22．28.2逻辑推理问题28.2.1*某班甲、乙两名同学因一件事件发生纠纷．老师找了4位在场同学调查情况，他们的回答有真有假．第1位同学说：“我只知道甲没有错．”第2位同学说：“我只知道乙没有错．”第3位同学说：“前面两位同学所说的话至少有一个是真的．”第4位同学说：“我可以肯定第3个同学说的是假话．”经调查，证实第4位同学说的是真话．请问：甲、乙两人谁有错．解析因已证实第4位同学所说属实，所以第3位同学所说的话是假话，即“前面两位同学所说的话至少有一个是真的”是假话．从而，第1、

8、第2两位同学都没说真话，也就是，甲、乙两人都有错．评注如果我们选择