人教版初中《第28章操作闻题和逻辑推理闻题》竞赛专题复习含答案试卷分析详解

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1、第28章操作闻题和逻辑推理闻题28.1有趣的操作问题28.1.1**在黑板上记上数1，2，…，，现允许选择任意两个数。换成其和或差（绝对值），经过次操作，黑板上只剩下1个数．问对于什么样的，才可能让这最后一个数为0？解析显然，经过一次操作，原来的奇数个数要么保持不变，要么减少2，因此奇数总数的奇偶性在操作前后保持不变，当，2（）时，奇数个数为奇数个，不可能减到0个（0是偶数）．因此，要满足题目要求，一个必要条件是，3（）．当（）时，由于连续4个整数可以得到两个1，从而进一步得到0，最终可得到一个0；当（）时，先取出1、2、3，得到0

2、，其余仍然4个连续整数一组，仍可最终得到0．因此答案为，3（）．28.1.2**只盘子排成一行，每次操作任取两只盘子，将它们移到相邻（或左或右）的位置上，盘子可以重叠，问能否经若干次操作后，使6只盘子叠在一起．解析设想盘子的位置是数轴上的整数点1、2、3、4、5、6．由于相邻整数的奇偶性不同，故每次移动改变了两个位置的奇偶性．原来有奇数个盘子在奇数位置，每次移动有三种可能：（）将两个奇数位置的盘子移到偶数位置；（）将两个偶数位置的盘子移到奇数位置；（）将一个奇数位置的盘子移到偶数位置，将一个偶数位置的盘子移到奇数位置．无论哪种情况，

3、每次移动后仍有奇数个盘子在奇数位置上，这就表明不能把6只盘子重叠在一起（因为6只盘子叠在一起时，奇数位置的盘子是偶数（6或0个）．28.1.3**黑板上写有1，，，…，．每次操作可以从黑板上的数中选取2个数、，删去、并在黑板上写上数，问经过99次操作后，黑板上剩下的数是几？解析因为，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加l后的乘积不变．设经过99次操作后黑板上剩下的数为，则，得，于是．28.1.4**在正方形的3个顶点处各有一只蚂蚱，现在每次有一只蚂蚱从另一只蚂蚱背上跳过，落到对称的位置．问是否在经过几次跳跃之后，有一只蚂蚱跳到了

4、正方形的第4个顶点上？解析不能．不妨设原来3只蚂蚱所在位置是（0，0），（1，0），（0，1）．由中点坐标易见，每次跳跃之后，对称位置的横、纵坐标的奇偶性与原先起跳点的一样，而原先没有一只蚂蚱在奇数格点（即两坐标都是奇数）上，因此也就没有一只蚂蚱会跳到奇数格点上，当然也就不会落到（1，1）上．28.1.5*中国象棋中的马，每步由1×2格的一个顶点跳到其对角顶点．求证：该马从棋盘上任意一点出发要跳到它的相邻格，必须经过奇数步．解析赋象棋盘每个格点（，）以数，马每跳一步，必在行和列中，一种增减2，另一种增减1，即乘以．所以，马跳步后，到

5、它的相邻格点时，必有，故，故为奇数．28.1.6**一个箱子里装有个白球和个黑球，箱子旁边还有一堆黑球．从箱子里取出两球：如果这两个球是同颜色的，则从箱外取出一个黑球放回箱子里；如果这两个球是异色的，则把其中的白球放回箱子．这个过程一直重复到最后一对球从箱子取出，并且最后一个球放回箱子．试问最后一对球有没有可能是白色的？并说明理由．解析若在白球上记上数字1，黑球上记上数字0，则任何时候箱中的白球数就等于箱内所有球的数字之和，并且开始时总和为，如果取的两个球是白色，则放回一个黑球，故总和变成．如果取的两个球是黑色，则放回一个黑球，故总

6、和是．如果取出的两球是一黑一白，则放回这个白球，故总和也是．由此可知，每完成一个过程，箱子里球的数字之和或者不变，或者减少2，即变换前后的奇偶性不变．故为偶数时，最终将变成0（黑球）；为奇数时，最后必将是1（自球）．28.1.7*一堆火柴共1000根，两人轮流拿走根火柴，其中户为质数，”为非负整数，规定谁取到最后一根火柴谁就获胜，证明：先取者必胜．解析在正确的玩法下，第一人将取胜．由于他在每次执步中，可以取走1、2、3、4或5根火柴，所以他可以执行这样的策略：即不论第二个人如何动作，他都应在自己执步之后，给对方留下能被6整除的火柴数

7、目．这样，在经过有限次执步之后，他将给第二人留下6根火柴．因而在第二人动作之后，他即可取走所有剩余的火柴而结束游戏．28.1.8**甲、乙两个人取数，若已有的最后一个数为，则可以取至中任一个数．若甲先取，开始已有数2，取到2004为胜，问甲必胜还是乙必胜？解析甲必胜．甲可依次取3、7、15、31、62、125、250、501、1002、2004．这一列数中，后一个数要么是前一个数的2倍，要么是2倍加上1．现在说明只要取到前一个数，就必可取到后一个数，从而必可取到2004．事实上，若甲取到的数为，则乙可取至中任一数．而，且，，故当乙取

8、完后，甲必可取或．28.1.9**两个相同的齿轮，各有14个齿，一个平放在另一个的上面，使得它们的齿重合．现在去掉4对重合的齿．是否总可以旋转上面的那个齿轮，使得它们的共同投影是一个完整的齿轮．若两个齿轮各有13个齿，结论如何？解析1