2018版高中数学人教b版选修1-1学案1.3.1 推出与充分条件、必要条件

《2018版高中数学人教b版选修1-1学案1.3.1 推出与充分条件、必要条件 》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2017-2018学年高中数学人教B版选修1-1学案1.3　充分条件、必要条件与命题的四种形式1．3.1　推出与充分条件、必要条件[学习目标]　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.会求(判定)某些简单命题的条件关系．[知识链接]判断下列两个命题的真假，并思考命题中条件和结论之间的关系：(1)如果x>a2＋b2，则x>2ab；(2)如果

2、x

3、＝1，则x＝1.答　(1)为真命题，(2)为假命题．命题(1)中，有x>a2＋b2，必有x>2ab，即x>a2＋b2⇒x>2ab；但由x>2ab推不出x>a2

4、＋b2.命题(2)中，由

5、x

6、＝1，可得x＝1或－1.即由

7、x

8、＝1推不出x＝1；但由x＝1能推出

9、x

10、＝1.结论：一般地，“如果p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．[预习导引]1．命题的结构在数学中，我们经常遇到“如果p，则(那么)q”的形式的命题，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论．2．充分条件与必要条件的定义当命题“如果p，则q”经过推理证明断定是真命题时，我们就说由p成立可以推出q成立，记作p⇒q，读

11、作“p推出q”．如果p可推出q，则称p是q的充分条件；q是p的必要条件．3．p⇒q的等价命题在逻辑推理中，能表达成以下5种说法：①“如果p，则q”为真命题；②p是q的充分条件；③q是p的必要条件；④q的充分条件是p；⑤p的必要条件是q.4．充要条件的定义62017-2018学年高中数学人教B版选修1-1学案一般地，如果p⇒q，且q⇒p，则称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q.p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p，或p与q等价.要点一　充分条件、必要条件、充要条件的判断例1　指出下列各

12、题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)：(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；(2)在△ABC中，p：sinA>sinB，q：tanA>tanB；(3)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.解　(1)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充要条件．(2)取A＝120°，B＝30°，p⇒/q，又取A＝30°，B＝120°，q⇒/p，所以p是q的既不充分也

13、不必要条件．(3)因为p：A＝{(1,2)}，q：B＝{(x，y)

14、x＝1或y＝2}，AB，所以p是q的充分不必要条件．规律方法(1)判断p是q的什么条件，主要判断p⇒q及q⇒p两命题的正确性，若p⇒q真，则p是q的充分条件，若q⇒p真，则p是q的必要条件．(2)关于充要条件的判断问题，当不易判断p⇒q真假时，也可从集合角度入手判断真假，结合集合关系理解，对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．跟踪演练1　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件

15、”中选一种作答)?(1)p：△ABC中，b2>a2＋c2，q：△ABC为钝角三角形；(2)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0.解　(1)在△ABC中，∵b2>a2＋c2，∴cosB＝<0，62017-2018学年高中数学人教B版选修1-1学案∴B为钝角，即△ABC为钝角三角形，反之若△ABC为钝角三角形，B可能为锐角，这时b2

16、，q⇒p，故p是q的必要不充分条件．(3)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故p⇒q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，所以p是q的充要条件．要点二　充要条件的证明例2　求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.证明　(1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，所以方程x2＋mx＋1＝0有实根，设两根为x1，x2，由根与系数的关系知，x1·x2＝1>0，所以x1，x2同号．又x1＋x2＝－m≤－2<0，所以x1，x2同为负数．即m≥2是x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分

17、条件．(2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0有两个负实根，设其为x1，x2，且x1x2＝1，所以即所以m≥2，即m≥2是x2＋mx＋1＝0有两个负实根的必要条件．综上可知，m≥2是x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件．规律方法充要条件的证明，关键是确定哪是条件，哪是结论，并明确充分性是由条件推结论，必要性是由结论推条件，也可以理解为证明充分性就是证原命题成立，证必要性就是证原命题的逆命题成立．跟踪演练2　求证：