托勒密定理及逆定理的证明

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1、托勒密定理及逆定理的证明:托勒密定理:如果四边形内接于圆,那么它的两对对边的乘积之和等于它的对角线的乘积.A证明:设ABCD是圆内接四边形。在弦BC上,圆周角∠BAC=∠BDC,而在AB上,D∠ADB=∠ACB。在AC上取一点K,使得∠ABK=∠CBD;KB因为∠ABK+∠CBK=∠ABC=∠CBD+∠ABD,所以∠CBK=∠ABD。因此△ABK∽△DBC,C同理也有△ABD∽△KBC。因此AK/AB=CD/BD,且CK/BC=DA/BD;(1)因此AK·BD=AB·CD,且CK·BD=BC·DA;(2)两式相加,

2、得(AK+CK)·BD=AB·CD+BC·DA;但AK+CK=AC,因此AC·BD=AB·CD+BC·DA。证明:设四边形ABCD有外接圆O,AC和BD相交于P,∠CPD=α(图3-107).若四边形ABCD的四边都相等,则四边形ABCD为圆内接菱形,即正方形,结论显然成立.若四边不全相等,不失一般性,设AB

3、EBC而S四边形ABCD=S四边形BCDE,所以(BE×BC+DE×CD)sin∠EBC=AC×BD×sinα即(AD×BC+AB×CD)sin∠EBC=AC×BD×sinα.由于∠α=∠DAC+∠ADB=∠DBC+∠EBD=∠EBC,所以AD×BC+AB×CD=AC×BD.托勒密定理逆定理的证明:证明:在任意四边形ABCD中,连接AC,取点E使得∠1=∠2(即∠ABE=∠ACD)ABCDE123456∠3=∠4(即∠BAE=∠CAD,)则△ABE∽△ACD所以=,即BE·AC=AB·CD(1)又有比例式=得:=而

4、∠BAC=∠1+∠EAC,∠DAE=∠2+∠EAC得∠BAC=∠DAE所以△ABC∽△AED相似.得:=即ED·AC=BC·AD(2)且∠5=∠6(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又因为BE+ED≥BD得:AB·CD+AD·BC≥AC·BD当BE+ED=BD时,点B,E,D共线此时因为∠3=∠4,∠5=∠6在△ABC中,∠1+∠2+∠EAC+∠3+∠6=180得:∠1+∠2+∠EAC+∠4+∠5=180即∠BAD+∠BCD=180得此时,A,B,C,D四点共圆。(仅在四边形ABCD是某圆的

5、内接四边形时,等号成立,即“托勒密定理”)所以命题得证

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