托勒密定理及逆定理的证明

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1、托勒密定理及逆定理的证明：托勒密定理：如果四边形内接于圆，那么它的两对对边的乘积之和等于它的对角线的乘积．A证明：设ABCD是圆内接四边形。在弦BC上，圆周角∠BAC=∠BDC，而在AB上，D∠ADB=∠ACB。在AC上取一点K，使得∠ABK=∠CBD；KB因为∠ABK+∠CBK=∠ABC=∠CBD+∠ABD，所以∠CBK=∠ABD。因此△ABK∽△DBC，C同理也有△ABD∽△KBC。因此AK/AB=CD/BD，且CK/BC=DA/BD；（1）因此AK·BD=AB·CD，且CK·BD=BC·DA；（2）两式相加，

2、得(AK+CK)·BD=AB·CD+BC·DA；但AK+CK=AC，因此AC·BD=AB·CD+BC·DA。证明：设四边形ABCD有外接圆O，AC和BD相交于P，∠CPD=α(图3－107)．若四边形ABCD的四边都相等，则四边形ABCD为圆内接菱形，即正方形，结论显然成立．若四边不全相等，不失一般性，设AB

3、EBC而S四边形ABCD=S四边形BCDE，所以（BE×BC+DE×CD）sin∠EBC=AC×BD×sinα即(AD×BC+AB×CD)sin∠EBC=AC×BD×sinα．由于∠α=∠DAC+∠ADB=∠DBC+∠EBD=∠EBC，所以AD×BC+AB×CD=AC×BD．托勒密定理逆定理的证明：证明：在任意四边形ABCD中，连接AC，取点E使得∠1=∠2（即∠ABE=∠ACD）ABCDE123456∠3=∠4（即∠BAE=∠CAD，）则△ABE∽△ACD所以=，即BE·AC=AB·CD(1)又有比例式=得：=而

4、∠BAC=∠1+∠EAC，∠DAE=∠2+∠EAC得∠BAC=∠DAE所以△ABC∽△AED相似.得：=即ED·AC=BC·AD(2)且∠5=∠6(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又因为BE+ED≥BD得：AB·CD+AD·BC≥AC·BD当BE+ED=BD时，点B，E，D共线此时因为∠3=∠4，∠5=∠6在△ABC中，∠1+∠2+∠EAC+∠3+∠6=180得：∠1+∠2+∠EAC+∠4+∠5=180即∠BAD+∠BCD=180得此时，A，B，C，D四点共圆。（仅在四边形ABCD是某圆的

5、内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）所以命题得证