2017-2018学年高中数学第一章导数及其应用章末小结知识整合与阶段检测教学案苏教版选修2-2

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1、苏教版2017-2018学年高中数学选修2-2教学案第一章导数及其应用[对应学生用书P31]一、导数的概念1．导数函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，称常数A为函数f(x)在点x＝x0处的导数，记作f′(x0)．2．导函数若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f′(x)在各点的导数中随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数．记作f′(x)．二、导数的几何意义1．f′(x0)是函数y＝f(x)在x0

2、处切线的斜率，这是导数的几何意义．2．求切线方程：常见的类型有两种：一是函数y＝f(x)“在点x＝x0处的切线方程”，这种类型中(x0，f(x0))是曲线上的点，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．二是函数y＝f(x)“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，又y1＝f(x1)，由上面两个方程可解得x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．三、导数的运算1．

3、基本初等函数的导数(1)f(x)＝C，则f′(x)＝0(C为常数)；11苏教版2017-2018学年高中数学选修2-2教学案(2)f(x)＝xα，则f′(x)＝α·xα－1(α为常数)；(3)f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则f′(x)＝axlna；(4)f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，则f′(x)＝；(5)f(x)＝sinx，则f′(x)＝cosx；(6)f(x)＝cosx，则f′(x)＝－sinx.2．导数四则运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x

4、)g′(x)；(3)′＝(g(x)≠0)．四、导数与函数的单调性利用导数求函数单调区间的步骤：(1)求导数f′(x)；(2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(3)写出单调增区间或减区间．特别注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．五、导数与函数的极值利用导数求函数极值的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)＝0的根的两侧的f′(x)的符号，若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值．若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值，否则此根不是f(x)的极值点．六、

5、求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以判断f(x)在该点处取得最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．七、导数的实际应用11苏教版2017-2018学年高中数学选修2-2教学案利用导数求实际问题的最大(小)值

6、时，应注意的问题：(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去．(2)在实际问题中，由f′(x)＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值．八．定积分(1)定积分是一个数值．定积分的定义体现的基本思想是：先分后合、化曲为直(以不变代变)．定积分的几何意义是指相应直线、曲线所围曲边梯形的面积．要注意区分f(x)dx，

7、f(x)

8、dx及三者的不同．(2)微积分基本定理是计算定积分的一般方法，关键是求被积函数的原函数．而求被积函数的原函数

9、和求函数的导函数恰好互为逆运算，要注意它们在计算和求解中的不同，避免混淆．　一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)1．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为________．解析：∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax，∴f′(1)＝2a，又∵f′(1)＝2，∴a＝1.答案：12．曲线y＝x3－4x在点(1，－3)处的切线的倾斜角为________．解析：∵y′＝3x2－4，∴当x＝1时，y′＝－1，即tanα＝－1.又∵α∈(0，π)，∴α＝π.答案：π3．已知函数f(x)＝－x

10、3＋ax2－x＋18在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是________．解析：由题意得f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋