对称思想在解题中的应用

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1、学士学位论文BACHELOR’STHESIS　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　编号学士学位论文关于对称思想在解题中的运用学生姓名：阿斯叶姆·玉素甫学号：20080101023系部：数学系专业：数学与应用数学年级：2008—3指导教师：麦麦提明·克热木完成日期：2013年5月10日学士学位论文BACHELOR’STHESIS摘要本文从对称性角度出发，以数学中的对称性问题（即平面上点与点的两种对称和线与线的两种对称）为例，提出利用对称思想方法将问题转化为一种较容易处理的具体应用策略。关键词：点对称；轴对称；函数图象的对称。11学士学位论文B

2、ACHELOR’STHESIS目录摘要1引言21.平面上对称问题的类型21.1关于点的对称问题21.1.1点关于点的对称问题21.1.2直线关于点的对称直线问题31.1.3曲线关于点的对称曲线问题31.2关于直线的对称问题41.2.1点关于直线的对称点问题51.2.2直线关于直线的对称直线问题51.2.3曲线关于直线的对称曲线问题62.函数图象的对称问题72.1函数图象的中心对称72.2函数图象的轴对称73．对称思想的应用83.1求已知曲线关于已知点的对称曲线83.2对称曲线参数的取值范围问题93.3由对称曲线求对称中心，对称轴93.4对称性的

3、数式问题103.5奇偶函数图像的对称性11总结12参考文献13致谢1432学士学位论文BACHELOR’STHESIS引言时间是无头无尾的，空间向任何一个方向上都可以任意延伸，它们都是对称存在的。世界万物都是对立的统一，都包含着矛盾的两个方向，这两个方面便是对称的，因此统一中就含有对立或对称。我们的生活充满对称的世界。自然世界的许多植物与动物的生长也是对称形式的。如：正数与负数，无穷大量与无穷小量，运算与逆运算，命题与逆命题，都是对称的。正多边形，菱形，圆，椭圆，双曲线，抛物线等都具有对称性。对称性不仅具有很高的美学价值，更重要的是它还是思维方

4、法，是思考问题的出发点，是探索解题思路的精良武器。1.平面上对称问题的类型平面上对称问题分为中心对称和轴对称两种类型。在解题中追求对称性，即利用数和形的对称性，往往能发现优美的解法和思路。1.1关于点的对称问题1.1.1点关于点的对称问题点关于点的对称是最基本的中心对称问题，可通过中点公式解决。一般的，设点关于点的对称点为，则或故，点关于点的对称点为1414学士学位论文BACHELOR’STHESIS1.1.2直线关于点的对称直线问题已知：直线和点，求:直线关于点的对称直线。方法：设直线关于点的对称直线为，那么的方程可写为且到两条直线的距离相等

5、，即=所以对称直线的方程为：1.1.3曲线关于点的对称曲线问题命题曲线关于点的对称曲线为证明：设点是曲线关于点的对称曲线上的任意点则关于点的对称点应在曲线上，于是有满足曲线方程，即推论：如果函数的图像关于点的对称图像的方程为。特别地，当时，有这就是奇函数的特征。例1：已知直线与：关于点的对称，求直线1414学士学位论文BACHELOR’STHESIS的方程。解：点在上，于是有即代入的方称得即这就是所求的直线的方程。例2：求椭圆关于点对称的椭圆的方程。分析：根据关于点对称的曲线的几何性质，将关于点对称的曲线问题化为动点的对称问题。解：设为所求椭圆

6、上的动点，关于点的对称为则由点在椭圆上，将其坐标代入的方程，得椭圆的方程：1.2关于直线的对称问题关于直线的对称问题包括点关于直线的对称点和曲线（包括直线）关于直线的对称曲线问题。1414学士学位论文BACHELOR’STHESIS1.2.1点关于直线的对称点问题设点关于直线的对称点为，则由条件可知直线是的垂直平分线，所以的中点坐标满足的方程并且，因此对称点的坐标由方程组（I）决定1.2.2直线关于直线的对称直线问题已知一直线,我们要求直线关于直线对称的直线方程。分析：首先要求与的交点可写成①又可写成②②-①解出和得即与的交点为设我们所求直线为

7、，斜率为则其中直线是直线与的角平分线，即例：求直线关于直线对称直线方程。解：对称轴方程得，，把和的表达式代入得直线关于直线对称直线方程，即为1414学士学位论文BACHELOR’STHESIS1.2.3曲线关于直线的对称曲线问题已知一曲线方程我们要求这曲线关于直线对称的曲线方程。分析：设点是曲线上的任一点，关于的对称点为则：这个表达式代入曲线方程则得到我们所求的关于直线的对称曲线方程。例：求曲线关于直线的对称曲线方程。解法一：对称轴方程得，把和的表达式代入得到我们要找的对称曲线方程，即为：解法二：因为即已知曲线是圆心为，半径为的圆∴圆心关于直线

8、的对称点为圆心，半径为的圆就是所求的曲线方程即1414学士学位论文BACHELOR’STHESIS2.函数图象的对称问题2.1函数图象的中心对称命题1