随机信号与系统第五章习题部分答案

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1、第五章习题5-1设某信号为（1）试求x(t)的傅里叶变换X(jw)，并绘制X(jw)曲线；（2）假设分别以采样频率为fs=5000Hz和fs=1000Hz对该信号进行采样，得到一组采样序列xk，说明采样频率对序列xk频率特性X(ejW)的影响。解：（1）.X(jw)的曲线如下图所示：（2）设采样周期为T，则采样输出为.由时域相乘等于频域卷积，有.即序列xk频率特性X(ejW)是原信号频谱X(jw)以为周期进行延拓而成的，而采样频率，所以采样频率越高，序列xk频率特性的各周期越分散，越不容易发生频

2、谱混叠。5-2假设平稳随机过程x(t)和y(t)满足下列离散差分方程130式中，

3、a

4、<1；ek，vk～N(0，s2)分布，且二者互不相关。试求随机序列yk的功率谱。解：对进行离散时间傅里叶变换（DTFT），且记DTFT(xk)=X(ejW)，DTFT(ek)=E(ejW)，则有式中，W=wTs，称为数字频率（rad），w为实际频率（rad/s），Ts为采样周期（s）。如果把上式看作以ek为输入、以xk为输出的线性滤波器，则有式中，H(W)称为线性滤波器的频率传递函数。根据线性系统的功率传递函数

5、，若记输入序列ek的功率谱为N(W)，则输出序列xk的功率谱Sx(W)可表示为将AR(1)模型参数估计值aˆ和噪声功率估计值σˆ2代入上式中相应的项，即可得到AR(1)序列xk的AR谱估计：由可知：对进行离散时间傅里叶变换（DTFT），且记DTFT(yk)=Y(ejW)，DTFT(vk)=V(ejW)，则有：所以：5-3已知某一线性系统的单位脉冲响应函数为130假定输入x(t)是一零均值的高斯白噪声，其功率谱为Sx(f)=N0，试求该线性系统输出响应y(t)的功率谱和协方差函数。解：系统的频率响

6、应函数为则而输出响应y(t)的功率谱，所以该线性系统输出响应y(t)的功率谱为.可见y(t)的功率谱不是常数，所以输出响应y(t)不再是白噪声。y(t)的自相关函数为∴直流分量功率∴输出响应y(t)的协方差函数.5-4请分别用Levinson递推算法和Burg算法估计信号的功率谱。式中，f1=150Hz，f2=200Hz，f3=210Hz；e(t)是方差为0.1的白噪声过程。解：MATLAB程序如下：f1=150;f2=200;f3=210;%信号频率f1，f2，f3；Fs=1000;N=155

7、;%采样频率Fs，序列点数N；k=0:1/Fs:N/Fs;x=cos(2*pi*f1*k)+cos(2*pi*f2*k)+cos(2*pi*f3*k)+randn(size(k));%xk序列R=zeros(1,N+1);%相关函数初始化，R0=R(1)%估计xk的相关函数form=1:N+1RXm=0;fork=1:N+2-mRX=x(k+m-1)*x(k);130RXm=RXm+RX;endR(m)=RXm/N;enda=zeros(N+1,N+1);sigma2=zeros(1,N+1);

8、%参数ak和估计量方差sk2FPE=zeros(1,N+1);%最终预测误差准则FPE%计算一阶AR模型的未知参数sigma2(1)=R(1);a(1,1)=-R(2)/R(1);sigma2(2)=(1-(abs(a(1,1)))^2)*sigma2(1);FPE=sigma2(2)*(N+2)/N;%一阶AR模型的最终预测误差FPE%Levinson递推算法fork=2:NRXk=0;form=1:k-1aRX=a(k-1,m)*R(k-m+1);RXk=RXk+aRX;enda(k,k)=

9、-(R(k+1)+RXk)/sigma2(k);form=1:k-1a(k,m)=a(k-1,m)+a(k,k)*a(k-1,k-m);endsigma2(k+1)=(1-(abs(a(k,k))^2))*sigma2(k);FPE(k)=sigma2(k+1)*(N+k+1)/(N-k+1);%k阶AR模型的最终预测误差FPEend%确定AR模型阶次min=FPE(1);fork=2:NifFPE(k)

10、p);disp(‘输出AR(p)模型参数a');130fork=1:pdisp(a(p,k));enddisp(‘估计量协方差sigma2');disp(sigma2(p+1));%AR谱估计H=0;W=0:0.01:pi;fork=1:pH=H+a(p,k).*exp(-j*k*W);endSx=sigma2(p+1)./((abs(1+H)).^2);f=W*Fs/(2*pi);%将角频率转化为频率figure（1）；plot(f,10*log10(Sx));grid%打印对数功率谱AR模型