随机信号习题答案

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1、随机信号分析习题参考答案北京工业大学电控学院2008.12.9第18页共18页第一章随机信号基础1.2设连续随机变量X的概率分布函数为：求：（1）系数A（2）X取值在（0.5，1）内的概率（3）求X的概率密度函数解：（1）因为X为连续随机变量，所以其分布函数处处连续。即有：解得：（2）根据分布函数的性质：（3）因为当时，其他1.3试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度。第18页共18页解：如果一个函数它是概率分布函数则比须满足三个条件：（I）是x的单调非减函数（II）是非负函数，且满足：（III）处处连续（1）可证明满足以上三个条件，可

2、知是一个概率分布函数。（2）经过计算可知当时为分布函数。则此时（3）上式等价于：第18页共18页因为在点，此函数在此点不连续。所以该函数不是分布函数。1.5设随机变量X的概率密度为：求：的概率密度。解：因为所以则：1.7设随机变量X的数学期望和方差分别为和，求随机变量的数学期望和方差及X和Y的相关矩。解：1.11随机变量X、Y的联合概率密度为：求：（1）系数A（2）数学期望（3）方差和（4）相关矩及相关系数第18页共18页解：（1）有二位概率密度性质可知：所以可得（2）同理：有（3）因为可求同理可得：（4）第18页共18页第二章随机过程2.1随机过程，其中其中为常数，A、B为互

3、相独立的高斯变量，，。求的数学期望和自相关函数。解：因为A、B为互相独立的高斯变量所以代入上式2.4判断随机过程是否平稳？其中为常数，、A分别是均匀分布和瑞利分布的随机变量，且互相独立解：（1）所以，均值为常数。（2）第18页共18页（3）或所以是平稳随机过程。2.5证明不相关的两个任意分布的随机变量A、B构成的随机过程是宽平稳的而不一定是严平稳的。其中为常数，A、B的数学期望为0，方差相同。证明：首先证明是宽平稳的。（1）均值为常数。（2）第18页共18页自相关函数只与时间间隔有关，而与起点无关。（3）均方值有界。所以是宽平稳的。可以证明与时间有关。（证明省略）所以得出结论：

4、是宽平稳的，而不是严平稳的。2.7已知随机过程，为在内均匀分布的随机变量，A可能是常数、时间函数或随机变量。A满足什么条件时，是各态历经的？解：（参照2.4题）（1）当A是常数时：所以，均值为常数。所以是平稳随机过程。又第18页共18页所以，此时是各态历经的。（2）当A为时间函数时：设则此时所以，均值为常数。所以，自相关函数不仅依赖时间间隔，还是t的函数。此时所以不是平稳随机过程，也就不是各态历经的。（3）A为随机变量：证明是平稳随机过程可参照前面2.4题的证明，此处略。只求随机过程的自相关函数第18页共18页又因为：所以不是各态历经的。2.8设是互相独立的平稳随机过程，它们的

5、乘积是否平稳？解：因为X(t)、Y(t)是平稳随机过程，故此他们的数学期望为常数，自相关函数仅与时间间隔有关，故此Z(t)的数学期望是常数，自相关函数仅与时间间隔有关，是平稳随机过程。2.9求用自相关函数及功率普密度表示的的自相关函数及功率谱密度。为在内均匀分布的随机变量，是与互相独立的随机过程。解：第18页共18页方法一：方法二：2.11对于两个零均值联合平稳的随机过程，已知，说明下列函数是否可能为他们的相关函数，并说明原因。（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：第一个判断条件：实平稳过程X(t)的自相关函数是偶函数。即其中（1）、（2）、（3）、（6）是偶函数（4）、（5

6、）不是偶函数，所以不是自相关函数。第18页共18页第二个判断条件：其中（1）、（2）、（6）满足条件；而（3）不满足条件，所以不是自相关函数。第三个判断条件：其中（2）、（6）满足条件；而（1）中不满足条件，所以不是自相关函数。第四个判断条件：其中（2）不满足条件所以不是自相关函数。其中（6）满足条件所以可能是自相关函数。2.12求随机相位正弦信号的功率谱密度，式中为常数，为在内均匀分布的随机变量。解：自相关函数：功率谱密度：2.14由联合平稳过程定义了一个随机过程（1）的数学期望和自相关函数满足那些条件可使是平稳过程解：①：使数学期望是常数，须满足：第18页共18页②：使自相

7、关函数与时间t无关，须满足：（2）将（1）的结果用到，求以的功率谱密度和互谱密度表示的的功率谱密度解：（3）如果不相关，那么的功率谱密度是什么？解：2.15设两个随机过程各是平稳的，且联合平稳式中，为常数，为在内均匀分布的随机变量。它们是否不相关、正交、统计独立？解：时，X(t)、Y(t)不相关、正交第18页共18页时，X(t)、Y(t)相关、非正交∵∴X(t)、Y(t)不是相互独立。2.17在一般情况下，随机过程是否是（1）宽平稳（2）严平稳其中，为常数，A,B为不同分布的随机变量，但方差