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1、第三微分中值定理习题课教学目的通过对所学知识的归纳总结及典型题的分析讲解，使学生对所学的知识有一个更深刻的理解和认识．教学重点对知识的归纳总结．教学难点典型题的剖析．教学过程一、知识要点回顾1．费马引理．2．微分中值定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理．3．微分中值定理的本质是:如果连续曲线弧上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线，则这段弧上至少有一点C，使曲线在点C处的切线平行于弦AB．4．罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值的条件是充分的，但不是必要的．即当条件满足时，结论一定成立；而
2、当条件不满足时，结论有可能成立，有可能不成立．如，函数在上不满足罗尔定理的第一个条件，并且定理的结论对其也是不成立的．而函数在上不满足罗尔定理的第一和第三个条件，但是定理的结论对其却是成立的．5．泰勒中值定理和麦克劳林公式．6．常用函数、、、、的麦克劳林公式．7．罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理间的关系．8．、、、、、、型未定式．9．洛必达法则．10．、、、型未定式向或型未定式的转化．二、练习1.下面的柯西中值定理的证明方法对吗？错在什么地方？由于、在上都满足拉格朗日中值定理
3、的条件，故存在点，使得,.又对任一，所以上述两式相除即得.答上述证明方法是错误的．因为对于两个不同的函数和，拉格朗日中值定理公式中的未必相同．也就是说在内不一定存在同一个，使得式和式同时成立．例如，对于，在上使拉格朗日中值定理成立的；对，在上使拉格朗日中值定理成立的，两者不等．2.设函数在区间上存在二阶导数，且.试证明在内至少存在一点，使．还至少存在一点,使分析单纯从所要证明的结果来看，首先应想到用罗尔定理．由题设知，，且在上满足罗尔定理的前两个条件，故在内至少存在一点，使．至于后一问，首先得求出
4、，然后再考虑问题．，且．这样根据题设，我们只要在上对函数再应用一次罗尔定理，即可得到所要的结论．证由于在上存在二阶导数，且，在上满足罗尔定理的条件，故在内至少存在一点，使．由于，且，在上满足罗尔定理的条件，故在内至少存在一点，使．由于，所以．3.设为满足方程的实数，试证明方程在内至少有一个实根．分析证明一个方程在某个区间内至少有一个实根的问题，就同学们目前所掌握的知识来看主要有两种方法，一种是用零点定理，另一种是用罗尔定理.要用零点定理,函数，需要满足在上连续，且．但，因此这种方法并不能直接应用．
5、换一种方法，就应考虑罗尔定理，而要用罗尔定理解决上述问题，就得设，并将的原函数求出来，然后对原函数应用罗尔定理．在这个问题中的原函数求起来很容易，．求出后，根据题设条件，对在上应用罗尔定理即可得到所要的结论．证引入辅助函数．因为在上连续，在内可导，，，所以由罗尔定理知，在内至少存在一点，使得，即.于是方程在内至少有一个实根．4.设函数在上可导，且．试证明曲线弧：上至少有一点处的切线平行于直线．分析由于直线的斜率为，所以上述命题的本质是要证明在内存在一点，使得．由于，因此若设，则要证上述命题，只须证
6、明在内存在一点，使得即可．这是一个用罗尔定理解决的问题．在上满足罗尔定理的前两个条件没问题，只是由题设我们还不能直接得到所满足的是罗尔定理的第三个条件.但是我们注意在上连续，而，且1介于-1和2之间．因此由介值定理知，在内必存在一点，使得．这样在上对应用罗尔定理即可证得所要的结果．证引入辅助函数．在上连续,且.由介值定理知,在内比存在一点，使得．又，且在上满足罗尔定理的前两个条件,故在内必存在一点，使得，即．由于，所以．5.设在上可导，，试证明在内必存在一点,使得．象上述这种含有中值的等式,一般应
7、考虑用微分中值定理去证明．方法一用罗尔定理证分析要用罗尔定理证明一个含有中值的等式，第一步要将等式通过移项的方法化为右端仅为零的等式，即．第二步将等式左端中的都换为，并设．第三步是要去确定的原函数，并在相应的区间上对应用罗尔定理即可．本问题中的原函数为．证引入辅助函数．由题设知，在上连续，在内可导，且，由罗尔定理知，在内必存在一点，使得，即.方法二用拉格朗日中值定理证分析要用拉格朗日中值定理证明一个含有中值的等式，第一步要将含有的项全部移到等式的右端，其余的项全部移到等式的左端,即作如下恒等变形：
8、.(3)第二步是把等式右端中的都换为,并设.第三步是要去确定的原函数.本问题中的原函数为.第四步确定了的原函数后,针对相应的区间,验证(3)式左端是否为或.若是,则只要对在上应用拉格朗日中值定理即可得到所要的结论;否则,需另辟新径,考虑用罗尔定理或柯西中值定理等其它方法去解决问题.在本问题中,由于,所以.因此,本问题可通过对函数在上应用拉格朗日中值定理来证明.证引入辅助函数.由题设知,在上满足拉格朗日中值定理条件,故在内必存在一点,使得,.又由题设知,所以有,.方法三用柯西中值定理
