“设而不求”法在解析几何中的应用

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1、数学教学研究2007年第6期“设而不求"法在解析几何中的应用史建军(江苏省丹阳高级中学212300)熟练地运用设而不求法求解析几何问题，能避免解题过程中，不直接求出所设元素，而抓住元素繁杂运算、简化解题过程，使解题收到事半功倍的效的整体结构，能有效地减少运算量，使解题化繁为简．果．现归纳解析几何中运用设而不求法解题的几种方1．1利用点的坐标的整体结构法如下：例1已知抛物线y2=4x，过点P(1，3)作直线l1利用元素的整体结构交物线于A，B两点，使P恰为弦AB的中点，求直线1)．将点C，(0，1，1)代入(2)式左边得0+1+1=2>示范解题：O；将点(一1，1，1)代

2、入(2)式左边得一(一1)+1+解法4同解法1建立空间直角坐标系D—xyz，则1=3>O．所以点和点C在平面A，DB的同侧，即D詹=(1，1，O)，DC。=(0，1，1)，=(1，0，1)．设直线n向量方向指向二面角外．BD上取点A2使AtA2上DB，设=A(A∈R)，则所以所求二面A一BD—C，的平面角与这个夹角互A1Ai=Df4：一Df4=(1一A，一A，1)．补，其大小约为7O．53。．因；YgA1A2上DB，即1—2A=0，A=1／2，这种解法是利用二元一次方程(组)表示平面区所以A2A

3、_(1／2，一1／2，1)．域的特点——在直线同侧的点的坐标都满足不等式设

4、直线BD上取点使C。C2上DB，设D=或都不满足不等式，类比到空间中，将平面方程求出珊——÷(∈R)，则．—c———c一十：=D———c；一D——c—’：(一，1一，1)．的情况下，平面同侧的点代入方程的一边得到相同的因为C1C2上DB，即1一=0，=1／2，符号．则我们可以将法向量求出后，用在二面角棱上所以C2C=(一1／2，1／2，1)．的点作为表示法向量的有向线段的起点，就很容易求则cos(A一2A1，)=1／2丽=了1，出该有向线段的终点．通过计算就可以判断该点在平面的哪一侧，从而判断法向量的方向．再判断另一个(，)--70．53。．法向量方向，从而可以得到两个

5、法向量夹角和二面角因二面角的大小就等于AA：，c：所成角，因此，大小的关系，最终得到二面角的大小．这种方法主要二面角A】一BD—Cl的大小约为7O．53。．在于解决判断二面角和向量夹角关系这个难点．运用平面内垂直与棱且指向棱外的两个向量求4用垂直棱的向量求二面角大小二面角的大小，可以减小解题的难度，可以避免判断利用定义法求二面角的大小，是在棱上取一点在二面角与向量所成角的关系，也避免了在棱上找关键两个半平面内分别作棱的垂线，则这两条垂线所成角点的难题，但一般这种方法的运算量是比较大的．就是二面角的大小．而这样的作法往往是很困难的，本文是利用空间向量求解二面角大小，在求解

6、过主要表现为取棱上的点取哪一点，这个点不是随便取程中要不断的联系图形中的二面角的平面角，联想学的，要有利于计算平面角，往往要过两个半平面内关过的类比推理和二元一次方程表示平面区域的原理，键的两点，比如本文例中在BD上找到一点，过这点在方便了求解的过程．由此可以看到，在教学过程中，教两个半平面作棱垂线后要分别过点A，C．但如果利师也是要不断的思考和学生共同进步，这样才能适应用向量的方法求解则可以找两点分别满足过A，C时代的要求，适应新课程改革的要求．的条件，这样解题就非常方便了，还是以上面的例题(收稿日期：203／一03—27)2007年第6期数学教学研究29l的方程．故

7、sPF2=1IPF1IIPF：Isin=an号．解设a(x，Y)，B(x，Y)．因为点A，B在抛物2发挥元素的桥梁作用线y2=4x上，所以，，21=4x1，y2=4x2．2．1利用元素的性质两式相减可得二：—_4_一．例4求证：两椭圆6。+口y2=a2b，a2+又P是弦AB的中点，Y+=6，所以k^B=6y2=a2b的交点在以原点为圆心的圆周上，并求这个圆的方程．二：2，故直线Z的方程为证设p(x。，Yo)是两椭圆的交点，联立r6+a2y=a2b，(1)Y=÷(一1)+3，即2x一3y+7=o．la2x+b2y=a2b，(2)例2过椭圆X2+2／=4的左焦点作倾角为詈两

8、式相加可得+=．(3)的弦AB，求弦AB的长．由交点的性质可知，点P的坐标既满足(1)又满解化椭圆为等+予=1，左焦点为(一，o)，足(2)，则必须满足(3)．而方程(3)是以原点为圆心的圆，故命题得证，且这个圆的方程为y2=则：Y=(+)．2a26点A，B的坐标(，Y)，(，Y)满足方程组：口+6‘2．2利用元素换位』【()，代人可得7z+124~-x+8：o．+2／=4，例5过圆外一点M(2，4)向圆(一1)+(Y+3)=1引两条切线，求切点所在的直线方程．由韦达定理得X1+X2=一=孚．解设切点为A(，Y)，B(，Y)．转换视角，根