解析几何中设而不求专题练习(含参考答案)

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1、解析几何中设而不求专题练习设而不求是解析几何的重要解题策略，在许多题目的解答中，常常可以起到简化计算的作用。许多同学会问：什么情况下，可以通过设而不求解答问题呢？一、利用曲线与方程的关系：1.已知两圆，，求两圆的公共弦方程及弦长。解：两圆方程相减，得，两圆的交点坐标均满足此方程，故此方程即为公共弦所在直线方程。又圆的圆心到公共弦的距离，且（为公共弦长），，即公共弦长为。注：其中求公共弦的方程时即用到了设而不求思想。2.过圆外一点P（a，b）引圆的两条切线，求经过两个切点的直线方程。解：设两个切点分别为P1（），P2（），则切线方程为：，。可见P1（），P2（）都满足方程，由直线方程的

2、定义得：，即为经过两个切点的直线方程。二、利用圆锥曲线的定义：1.已知椭圆为焦点，点P为椭圆上一点，，求。1.解析：由题意知点P为椭圆上一点，根据椭圆的定义。再注意到求的关键是求出这一整体，则可采用如下设而不求的解法：设由椭圆定义得①由余弦定理得②①2－②得，三、利用点差法：1.求过椭圆内一点A（1，1）的弦PQ的中点M的轨迹方程。解析：设动弦PQ的方程为，设P（），Q（），M（），则：①②6①－②得：当时，由题意知，即③③式与联立消去k，得④当时，k不存在，此时，，也满足④。故弦PQ的中点M的轨迹方程为：。注：通过将P、Q的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减。这里，

3、代点相减后，适当变形，出现弦PQ的斜率和中点坐标，是实现设而不求的关键。四、利用韦达定理：1.已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.（Ⅰ）求双曲线C2的方程；（Ⅱ）若直线与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足（其中O为原点），求k的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线C2的方程为，则故C2的方程为（II）将由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得即①.由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得6解此不等式得③由①、②、③得故k的取值范围为2.已知平面上一定点C（4，0）和一定直线为该

4、平面上一动点，作，垂足为Q，且.（1）问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程；（2）设直线与（1）中的曲线交于不同的两点A、B，是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过点D（0，－2）？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由.解：（1）设P的坐标为，由得（2分）∴（（4分）化简得∴P点在双曲线上，其方程为（6分）（2）设A、B点的坐标分别为、，由得（7分），（8分）∵AB与双曲线交于两点，∴△>0，即解得（9分）∵若以AB为直径的圆过D（0，－2），则AD⊥BD，∴，即，（10分）∴∴解得，故满足题意的k值存在，且k值为.6五、对多元问题，围绕解题目标，通过逐步消元，实现设而不求

5、1.抛物线与过点的直线相交于、两点，为坐标原点，若直线和斜率之和是，求直线的方程。解：设点，点，直线的方程为，则，由已知条件，.，又，则，即，于是是直线的斜率，直线的方程为.2.已知点P（3，4）为圆C：内一点，圆周上有两动点A、B，当∠APB=90°时，以AP、BP为邻边，作矩形APBQ，求顶点Q的轨迹方程。解析：设A（），B（），Q（x，y）由题意得：①②③④，即。⑤将①②⑤代入上式并整理得，即为点Q的轨迹方程。注：本题的目标是找到x、y所满足的方程，而逐步消去无关的则是解答问题的关键。补充练习：1、设、分别是椭圆的左、右焦点.（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；

6、（Ⅱ）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得

7、F2C

8、=

9、F2D

10、？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）易知设P（x，y），则，，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；6当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k直线l的方程为由方程组依题意当时，设交点C，CD的中点为R，则又

11、F2C

12、=

13、F2D

14、∴20k2=20k2－4，而20k2=20k2－4不成立，所以不存在直线，使得

15、F2C

16、=

17、F2D

18、综上所述，不存在直线

19、l，使得

20、F2C

21、=

22、F2D

23、2.已知圆上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足.（I）求点G的轨迹C的方程；（II）过点（2，0）作直线，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设是否存在这样的直线，使四边形OASB的对角线相等（即

24、OS

25、=

26、AB

27、）？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.解：（1）Q为PN的中点且GQ⊥PNGQ为PN的中垂线

28、PG

29、=

30、GN

31、∴

32、GN

33、+

34、GM

35、=

36、MP

37、=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长，