数值计算实习报告-牛顿插值法

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1、数值计算课程设计——牛顿插值法数值计算实习课程设计姓名：张光宇指导教师;谭高山学号：11908416911数值计算课程设计——牛顿插值法目录1、实验目的2、问题的提出3、牛顿插值法的原理4、差商概念的引出5、牛顿插值公式及其余项的公式6、牛顿插值法计算步骤7、牛顿插值多项式的程序实现8、图像对照牛顿插值多项式9、牛顿插值多项式总结10、附111、附211数值计算课程设计——牛顿插值法1、实验目的:通过对牛顿插值多项式的Matlab程序实现,深入了解牛顿插值多项式的原理及编程解决实际问题的能力.2、问题的提出我们知道Lagrange插值多项式的插值基函数为

2、理论分析中很方便，但是当插值节点增减时全部插值基函数就要随之变化，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很不方便的；Lagrange插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数都需重新算过。3、牛顿插值多项式的原理我们知道两点直线公式有：我们考虑点斜式，两点为((x0,y0)(x1,y1))，则直线方程为：那么，在此基础上增加一个节点(x2,y2)，则过这三个点的插值多项式就是：c(x)应该是一个二次多项式。根据插值条件11数值计算课程设计——牛顿插值法有根据插值条件：可以求出：重新写p2(x)：11数值计算课程设计——牛顿插值法有...4、下面引入差

3、商和差分的概念定义：11数值计算课程设计——牛顿插值法1阶差商2阶差商n+1阶差商可以证明差商具有如下性质:(2)k阶差商关于节点是对称的，或者说均差与节点顺序无关，即均差表零阶均差一阶均差二阶均差三阶均差X0f(X0)X1f(X1)f[X0,X1]X2f(X2)f[X1,X2]f[X0,X1,X2]X3f(X3)f[X2,X3]f[X1,X2,X3]f[X0,X1,X2X3]...............11数值计算课程设计——牛顿插值法5、下面给出牛顿插值公式及其余项的公式：.............(1)............(2)…………………

4、….........(n+1)则有：其中6、牛顿插值法计算步骤：牛顿插值法利用函数在某区间中若干点的函数值，作出牛顿插值多项式，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用牛顿插值多项式的值作为函数的近似值。11数值计算课程设计——牛顿插值法1．输入值及（；要计算的函数点。2．对给定的由计算的值。3．输出。7、Matlab程序实现例：f(x)=lnx的数值如表所示，构造牛顿插值多项式并求ln0.53的值。X0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.223144解：由表可知x0=0.4,x1

5、=0.5,x2=0.6,x3=0.7,x4=0.7，函数值：y0=-0.916291,y1=-0.693147,y2=-0.510826,y3=-0.357765,y4=-0.223144在matlab中输入如下命令:clcclearnewpoly([0.4,0.5,0.6,0.7,0.8],[-0.916291,-0.693147,-0.510826,-0.357765,-0.223144])计算结果如下：ans=-0.30962.6083-5.48615.6921-2.4744由此看出所求的牛顿多项式为：11数值计算课程设计——牛顿插值法P(x)=-

6、0.3096x4+2.6083x3-5.4861x2+5.6921x-2.4744P(0.53)=-0.6347。8、图像对照牛顿插值多项式9、小结：本实验通过MATLAB编程实现求解牛顿K次插值多项式，能加深对牛顿插值法的基本思路和步骤的理解。同时也加深了对均差的概念及其性质的理解。牛顿插值法正是应用均差的性质，克服了拉格朗日插值法的主要缺点。11数值计算课程设计——牛顿插值法附1:matlab求解插值多项式，返回多项式的系数function[c,d]=newpoly(x,y)%牛顿插值的MATLAB实现%这里x为n个节点的横坐标所组成的向量，y为纵坐

7、标所组成的向量。%c为所求的牛顿插值多项式的系数构成的向量。n=length(x);%取x的个数。d=zeros(n,n);%构造n*n的空数组。d(:,1)=y';forj=2:nfork=j:nd(k,j)=(d(k,j-1)-d(k-1,j-1))/(x(k)-x(k-j+1));endendc=d(n,n);fork=(n-1):-1:1c=conv(c,poly(x(k)));%conv求积，poly(x)将该多项式的系数赋给向量。m=length(c);c(m)=c(m)+d(k,k);end附2:在同一个面框内显示ln(x)与牛顿插值多项式

8、的图像x=0:1/10000:1;y=log(x);plot(x,y,'b')g