数值计算课程设计报告(插值法)

《数值计算课程设计报告(插值法)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、数值计算方法课程设计报告课程设计名称：数值计算方法课程设计题目：插值算法年级专业：信计1302班组员姓名学号：高育坤1309064043王冬妮1309064044韩建1309064046李婧1309064047指导教师：刘丽华完成时间：2015年6月17日插值算法一、问题提出插值法是实用的数值方法，是函数逼近的重要方法。在生产和科学实验中，自变量x与因变量y的函数y=f(x)的关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在若干个点的函数值或导数值。当要求知道观测点之外的函数值时，需要估计函数值在该点的值。如何根据观测点的值，构造一个比较简单的函数y=φ(

2、x)，使函数在观测点的值等于已知的数值或导数值，进而用简单函数y=φ(x)在点x处的值来估计未知函数y=f(x)在x点的值。寻找这样的函数φ(x)，办法是很多的。φ(x)可以是一个代数多项式，或是三角多项式，也可以是有理分式；φ(x)可以是任意光滑（任意阶导数连续）的函数或是分段函数；函数类的不同，自然地有不同的逼近效果。二、背景分析在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，然而，这种关系经常很难有明显的解析表达，通常只是由观察与测试得到一些离散数值。有时，即使给出了解析表达式，却由于表达式过于复杂，不仅使用不便，而且不易于进行计算与理论分

3、析。解决这类问题的方法有两种：一种是插值法插值法，另一种是一拟合法。插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践，早在一千多年前，我国科学家在研究历法上就应用了线性插值与二次插值，但它的基本理论却是在微积分产生之后才逐渐完善的，其应用也日益增多，特别是在计算机软件中，许多库函数，如,cos,sinex等的计算实际上归结于它的逼近函数的计算。逼近函数一般为只含有算术运算的简单函数，如多项式、有理分式（即多项式的商）。在工程实际问题当中，我们也经常会碰到诸如此类的函数值计算问题。被计算的函数有时不容易直接计算，如表达式过于复杂或者只能通过某种手段获取该函数在某

4、些点处的函数值信息或者导数值信息等。因此，我们希望能用一个“简单函数”逼近被计算函数，然后用该简单函数的函数值近似替代被计算函数的函数值。这种方法就叫插值逼近或者插值法。插值法要求给出函数f（x）的一个函数表，然后选定一种简单的函数形式，比如多项式、分段线性函数及三角多项式等，通过已知的函数表来确定一个简单的函数作为f（x）的近似，概括地说，就是用简单函数为离散数组建立连续模型。三、基本算法思想与实现·····已知个数据节点:构造一个(相对简单)函数(称为插值函数),通过全部结点即（j＝0,1,…n）再用计算插值，即数学上插值方法非常多，这里介绍几种常用

5、方法：1·插值函数插值函数的基本思想:将待求的次插值多项式写成另一种表达方,式再利用插值条件确定出插值基函由基函数条件,确定多项式系数，进而可得插值函数.（1）已知，求满足条件的插值函数。由题可知表示过两点的直线，这个问题是我们所熟悉的，它的解可表为下列对称式此类一次插值称为线性插值，若令（由此可得：））则有这里的可以看作是满足条件的插值多项式，这两个特殊的插值多项式称作上述问题的插值基函数。（2）求过三点的插值函数。为了得到插值多项式先解决一个特殊的二次插值问题。求作二次式，使满足（2-1）这个问题是容易求解的，由式（2-1）的后两个条件知是的两个零点

6、，因而。再用条件确定系数c.结果得：类似可以分别构造出满足条件的插值多项式；其表达式分别为，这样构造出的称作问题（2）的插值基函数。设取已知数据作为组合系数，将插值基函数组合得验证可知，这样构造的满足已知条件，因而它就是问题（2）的解。(3)推广到一般：已知函数在n+1个不同点上的函数值分别为求一个次数不超过n的多项式,使其满足:即个不同的点可以决定的一个次多项式。过个不同的点分别决定个次插值基函数。每个插值基多项式满足：a.是次多项式;  b.,而在其它个点 由于故有因子: 因其已经是n次多项式，故而仅相差一个常数因子。令:         由,可以定

7、出,进而得到：  次拉格朗日型插值多项式是个次插值基本多项式的线性组合,相应的组合系数是。即:   从而是一个次数不超过n的多项式,且满足2·插值函数的构造插值法的基本思想：已知节点处的函数值或一元函数代数方程，将待求的n次插值多项式改写为具有承袭性的形式，然后根据插值条件或选取初值以求得待定系数，进而求得所要的插值函数。实践中的许多问题归结为求一元代数方程的根，如果是线性函数，则它的求根较容易；对非线性方程，只有不高于4次的代数方程有求根公式，经常需求出高于4次 的满足一定精度要求的近似解。  法的简述设是的一个近似根，把在处泰勒展开若取前两项来近似代

8、替，则的近似线性方程设0，设其根为，则的计算公式为=-（k=0,1,2.....