奥赛专题2 集合 函数 不等式 导数

《奥赛专题2 集合 函数 不等式 导数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、专题二集合函数不等式导数一能力培养1,函数与方程思想;2,数形结合思想;3,分类讨论思想;4,运算能力;5,转化能力.二问题探讨[问题1]已知,,分别就下面条件求的取值范围:(I);(II).[问题2]求函数的单调区间,并给予证明.[问题3]已知.(I)若在定义域R内单调递增,求的取值范围;(II)若在上单调递减,在上单调递增,求的值;(III)设在(II)的条件下,求证的图象恒在图象的下方.[问题4]设.(I)试判断的单调性;(II)若的反函数为,证明只有一个解;(III)解关于的不等式.8三习题探讨选择题1已知函数,则的单调减区间是A,B,C,D,2

2、已知集合M={,N={,下列法则不能构成M到N的映射的是A,B,C,D,3已知函数，奇函数在处有定义，且时,，则方程·的解的个数有A,4个B,2个C,1个D,0个4如果偶函数在上的图象如右图,则在上,=A,B,C,D,5设函数,已知,则的取值范围为A,B,C,D,6对于函数,有下列命题:①是增函数,无极值;②是减函数,无极值;③的增区间是,,的减区间是(0,2);④是极大值,是极小值.其中正确的命题有A,一个B,二个C,三个D,四个填空题7函数的定义域是.8已知,则.9函数单调递增区间是.10若不等式对满足的恒成立,则实数8的取值范围是.11在点M(1,

3、0)处的切线方程是.解答题12函数的定义域为集合A,函数的定义域集合B,当时,求实数的取值范围.13已知定点A(0,1),B(2,3),若抛物线与线段AB有两个不同的交点,求的取值范围.14已知定义在R上的函数,满足:,且时,,.(I)求证:是奇函数;(II)求在上的最大值和最小值.15通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间,讲座开始时,学生的兴趣激增;中间有一段不太长的时间,学生的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,分析结果和实验表明,用表示学生掌握和接受概念的能力(值越大,表示接受的能力

4、越强),表示提出和讲授概念的时间(单位:分),可有以下公式:8(I)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多少时间?(II)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较,学生的接受接受能力何时强一些?(III)一个数学难题,需要55的接受能力以及13分钟时间,老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题?16已知函数,其中,为自然对数的底数.(I)讨论函数的单调性;(II)求函数在区间[0,1]上的最大值.四参考答案:问题1:,.由有得与,矛盾!故当时,的取值范围是;(II)解:,,由必有,得或得(舍去)或得故当时,的取值范围是.温馨提示:在处理

5、集合的问题中,别忘了我们的好朋友空集.问题2:解:(1)当时,,令,得它的定义域是,得的单调增区间是,8它分别在,上为增函数.的单调减区间是.(2)当时,的定义域是,(3)当时,的定义域是,令,得或得的单调增区间是.温馨提示:①对参数进行分类讨论,是处理含参数问题的常用方法,②()为增(减)函数,反之不行;③以上单调区的书写格式,符合国际标准,请放心使用.问题3:解:(I),得.在R上单调递增,恒成立,即,恒成立又时,,得.(II),而在上单调递减,得在上恒成立,有,又当时,,得①又在上单调递增,得在上恒成立,有,又当时,,得②由①,②知.(III)由(

6、II)可知是的最小值,有,而,故,即的图象恒在图象的下方.温馨提示:恒成立时,转化为进行考虑,合情合理.问题4:(I)解:的定义域是,得所以在上是减函数.(II)证明:假设存在且,使,,则有8,,于是得,与矛盾!所以只有一个实根.(III)解:由(II)得,即,又=而在上是减函数,得,有或.即的解集是.温馨提示:为增(减)函数(),反之不行.习题1,C.2,C.3,B.4,C.5,B.6,B.1,,有,2,我们由映射的概念:每一个,有唯一的由,得一个与它对应.知,A,B,D.都满足.函数为上的增函数,而在C中,M中的1与对应,求的单调减区间,但,在N中找

7、不到了.选C.即求的单调减区间,于是选C.3,设,则,得=,有,(1)当时,由,得,解得,.(2)当时,由,得,无解.(3)当时,由,得,无解.选B.4,由,,知只有C正确.5,当与时,均合题意,而时,,不合题意,选B.6,③④正确.选B.7,令,得,,得.8,令,有,,得,[0,2].89,令,得.而它在上递增,在上递减,而当时,,↗,↗,↘;当时,↗,↗,↗;当时,↗,↘,↘.于是得递增区间是.10,设,,由题意,当时,的图象总在的图象的下方.当时,显然不合题意;当时,必有,,得,又,于是.11,==,得,有x+2y-1=0.12,解:,而,,又由题

8、意知,且,,解得,故的取值范围是.温馨提示:函数的定义域,值域,均为非空集.你留