关于函数的若干性质的探讨

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1、关于函数的若干性质的探讨作者：王健伟指导老师：邢抱花摘要：数学分析中介绍了函数的性质，但是课本中存在一些缺漏和不足之处。本文将对这些不足之处加以补充，对函数的连续性、可微性、可积性加以详细说明。并以实例辅助理解、关键词：函数性质连续可微可积Abstract:Themathematicalanalysisintroducesfunctionthenature,butthereexistsomegapsandtextbookdeficiencies.Thispaperwillbetotheseshortcomingsoff

2、unctiontobesupplemented,continuityanddifferentiablesex,integrabilityandexplaineddetailedly.ByexamplesauxiliaryunderstandingKeywords:Functionpropertiescontinuousdifferentiableintegrable引言：函数，作为数学学科中的重、难点，一直都是研究者的宠儿。本文较具体的讨论了函数的性质。在中学阶段，我们就学习了函数的单调性、周期性和奇偶性。此文中，对这

3、三种性质只作一个简单介绍。列为第一部分，而在第二、三、四部分将重点介绍函数的连续性、可微性和可积性。讨论函数的连续性时，我分为一元函数和二元函数，连续和一致连续来讨论。讨论可微、可积时亦是分为一元、二元两节。在介绍时，先列出它们的定义，然后讨论其判断和证明方法，每种方法下面列举例题加以说明。最后，在第五部分将总结出连续、可微、可积三者之间的内在联系，每个联系都配予例题加以说明，使读者一目了然，能在最短的时间内对函数的性质有更进不一步的了解。第一部分：函数的单调性、奇偶性、周期性在本部分中，我们将介绍单调函数、奇偶函数和

4、周期函数的定义以及它们的判别方法。一、单调性定义：设为定义在上的函数，若对任何，D，当时，总有（i）,则称为上的增函数，特别当成立严格不等式时，称为上的严格增函数。（ii）,则称为上的减函数，特别当成立严格不等式时，称为上的严格减函数。增函数和减函数统称为单调函数，严格增函数和严格减函数统称为严格单调函数。判别方法：1.直接根据定义。2.导数法：若在定义域上可导，当时，为增函数；时，为减函数。二、奇偶性定义：设为对称于原点的数集，为定义在上的函数。若对每一个有{}则称为上的奇（偶）函数。从函数上看，奇函数的图像关于原点

5、对称，偶函数的图像关于轴对称。则对于奇偶性的判别可根据定义直接在函数图像上进行观察判断。特别注意的是，在判别之前必须确定函数的定义域是否关于原点对称。一、周期性定义：设为定义在数集上的函数。若存在>，使得对一切有，则称为周期函数，称为的一个周期。显然，若为的周期，则（为正整数）也是的周期。若在周期函数的所有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为的基本周期，或简称周期。同样的，周期性的判别也可以根据定义直接进行判别。特别的，常量函数是以任何正数为周期的周期函数，但不存在函数的基本周期。第二部分：函数的连续性本部分我们主

6、要讨论连续性的定义及其证明；一致连续性的定义及其证明；连续和一致连续的关系；全变量连续和单变量连续的关系等一、一元函数的连续定义：设函数在某U（）内有定义。若则称在点连续。一元函数的连续性的证明：1.直接利用定义，证明：，，当时，有；例2.1证明Riemann函数在无理点上连续，在有理点上间断。（浙江大学）证先证在有理点上间断。设为有理点，（为既约分数），，则。由无理点的稠密性，无理点列（当时），但，即。故在有理点不连续。再证在无理点上连续，设为无理点，则。首先，我们从的定义可以看出，，的点，在上最多只有有限个（事实上

7、，要，必须是有理点，若，，则。可见满足此不等式的有理数最多只有有限个）。如此，可取充分小，使得不含有之点，此即，有.这就证明了在内的无理点上连续。又因为以为周期，所以在一切无理点上都连续1.利用左右极限，证明：；例2.2设在内有定义，且函数与在内都是单调不减的。试证在内连续。（北京师范大学）证因↗所以时有，，。(1)此即表明↘。所以，，存在.由↗知：时.令，得，（2）在（1）式中，令得（3）式（2）（3）表明.类似证.从而在处连续.由的任意性，知在处处连续.2.利用归结原则，证明：定理设在内有定义。存在的充要条件是：对

8、任何含于且以为极限的数列，极限都存在且相等。例2.3设在内有定义，且（1）具有介值性（即：若，则位于与之间，使得）（2）对任意有理数，集合为闭集.试证：在上连续.()()ry证（反证法）若在某一点处不连续.则，使得，，虽然，但。即，但在之外。从而在之外至少一侧（例如右侧）含有的无穷多项：.在内任取一有理数：.由介值条件，对每一，在