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《一元凸函数的若干性质探讨》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、烟台大学学士毕业论文（设计）-17-1凸函数的定义定义1.1设在[a,b]上连续，若对[a,b]中任意两点，，恒有，则称在[a,b]上是凸函数。定义1.2若（x）在[a，b]上是凸函数，对于任意，恒有.定义1.3为上的凸函数的充要条件是：对于上的任意三点，总有.定理1.1以上三个定义是等价关系。证明：1)定义1.1定义1.2及有理数用二进制表示为=，，（）.时，则.其中，且对于内任意两点，显然有.此时烟台大学学士毕业论文（设计）-17-即有.2)定义1.2定义1.3记，则.由的凸性知道，从而有，整理后即得.3)定义1.3定义1.1在上任取两点上任取一点，，即.由必
2、要性的推导逆过程，可证得，即是凸函数，取时可得定义1.1.综上所述：关于凸函数的三个定义是互相等价的,知道一个即可证出另外两个。烟台大学学士毕业论文（设计）-17-2凸函数的判别法2.1凸函数定义的扩展凸函数有多种定义方式本文给出了三种，一下两个定理是关于凸函数判别的两种方式，也可以充当凸函数的定义。定理2.1设在上定义，是凸函数的充要条件为：，有.证明：[必要性]任取三点，因为,使，事实上，取即成.由行列式性质得若是凸函数，上式第一个因子大于等于零，所以若是严格凸函数，上式第一个因子大于零，所以.[充分性]烟台大学学士毕业论文（设计）-17-.任意取定，令.由条
3、件所以有即,.若，则上式严格不等号成立，即为严格凸函数。定理2.2设，且在上可导，则是凸函数的充要条件：有.证明：当时，取充分小，使，按三点斜率式得由泰勒公式得，令得，从而时烟台大学学士毕业论文（设计）-17-.（2.1）当时（），取使得，从而得，（2.2）再取充分小，使，对用三点斜率式得,令得，（2.3）由（2.2）（2.3）式可知（2.1）式在时也成立.因此，当时定理成立。上述两个定理也可以充当凸函数的定义.一个函数只要证出具有上述性质，即可说明该函数是凸函数。推论2.2凸函数在上任意取两点所对应的点的连线在和的部分弦之上，即.证明：取（），得，烟台大学学士毕
4、业论文（设计）-17-,所以．2.2用一阶导数判别凸函数定理2.3设，且在(a,b)上可导,为凸函数的充要条件为:在(a,b)内为递增函数。证明：[必要性]任取上两点及充分小的正数。由于，根据的凸性及定义1.3有，由是可导函数，令时可得，所以为上的递增函数。[充分性]要证是凸函数，只要证，时，有.根据拉格朗日中值定理得烟台大学学士毕业论文（设计）-17-=（）,=().由于上升，于是有，即得：.所以是凸函数。2.3用二阶导数判别凸函数定理2.4设，那么若（a，b）内0，则在（a，b）为下凸的。证明：设和为（a，b）内任意两点，记，并改记为，为，利用拉格朗日公式，得
5、=[].再对导数函数应用拉格朗日公式得，其中，，由于，故有.而与是（a，b）内任意两点，这就证明了此时在（a，b）为凸函数。烟台大学学士毕业论文（设计）-17-3凸函数的性质这里分三部分逐一讨论凸函数的性质，分别是凸函数的连续性、可微性和其他特殊性质。3.1凸函数的连续性这里为了讨论凸函数的连续性引入两个引理。引理3.1.1设在内为凸函数，那么在（a,b）中的任意闭子区间有界。证明：设[a,b]令那么[a,b]上任一点,所以M为在[a,b]上的上界。另一方面[a,b]中的点写成的形式，，.再由为[a,b]上的凸函数，则，或.所以烟台大学学士毕业论文（设计）-17-
6、,。引理3.1.2设为（a,b）上的凸函数，那么在（a,b）中任意闭子区间[a,b]上，当时.证明：取使，由引理3.1.1可知在上有界。设上界为M,下界为m，若令,则,.，所以.其中.同理可证，因而，.定理3.1设为（a,b）内的凸函数，那么在（a,b）内连续。证明：任取,从而总存在一个区间满足,因而由引理3.1.2,烟台大学学士毕业论文（设计）-17-对,有一个常数有，那么对,当时.。3.2凸函数的可微性定理3.2设为()内的凸函数,那么f在()内处处左右可导,同时满足，证明：由定义1.3可知内为不减函数，当时，是有限的。再因,所以.同理可证时有.由的任意性知:
7、在(a,b)处处左右可导.若且，取，那么，即烟台大学学士毕业论文（设计）-17-，两边令则.同理可证，因此在[a,b]上处处左右可导且满足.3.3凸函数的其他性质定理3.3.1若为凸函数，为非负实数，则为凸函数。证明：因为为凸函数，对于有，而由此可得，所以为凸函数。定理3.3.2若均为凸函数，则为凸函数。证明：对于，及有烟台大学学士毕业论文（设计）-17-=，根据定义1.2可以得出为凸函数。定理3.3.3设与都是[a,b]上的非负单调递增的凸函数,则也是[a,b]上的凸函数。证明：对且和,因与在[a,b]上单调递增,故，即，（3.3）又因与为[a,b]上的凸函数,
8、故，，而,
