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1、关于函数的若干性质的探讨険：王矽指WP:腰：齡刎丿沖加盯1就的飯，林+链册劇叼淀Z处。枷鋼•谨不足Z妲川以补允榊数iwrn.wk确卿加以wm并以实iwmm敲恼媛用微可积Abstract：TherratherraticalanalysisintroducesfunctionthenaturebutthereexistsanegapsandtextbookdeficienciesThispaperwi11betotheseshortccmingsoffunctiontobesupplarentedcontinuityanddi『ferentiablesexin
2、tegrabi1ityandexplaineddetailedlyByexamplesauxi1iaryunderstandingKeywords：Rmctionpropertiescontinuousdifferentiableintegrable弓【言:磁作熾咛学种4那庫、难点,一育都融形渚的宠JLo根较n体'I勺讨论了斂勺皈在屮邦段Wl'W习了豳鮮调性、曲砒偶性」恢屮对这三瞅t质mW永他列^第n分而il第二、三、酹紡将重劇绍函数*癥性、啲性和确牲。讨论3微的IWI时，我^为■冠数W一履澈，翊心逛球'J■论。讨论邓纵可机卜j亦是^为元二元^节。在卅仙，
3、形出引喲定义然用寸论財I断和in期力法每种力法下陋惮例圆川以说明。劭1,梯「储份将跆i出a续啲、确曰1之r川的瓯瞰乘每廊训眇例®川以0湖，使財_目了然能在麵侧间内对函wj性质仃更进n；的了解o第一制雷性、在木部分中，我们将介绍单调函数、奇偶函数和周期函数的定义以及它们的判别方法。一、单调性定义川：设/为定义在D上的函数，若对任何码，x2GD,当X,/(%2),则称/为D上的减函数，特别当成立严格不等式/(x,)>/(x2)
4、时，称/为D上的严格减函数。增函数和减函数统称为单调函数，严格增函数和严格减函数统称为严格单调函数。判别方法：1.直接根据定义。2.导数法:若/(兀)在定义域上可导，当f'(x)no时，/(兀)为增函数；f'(x)<0时，/(X)为减函数。二、奇偶性定义凶：设D为对称于原点的数集，/为定义在D上的函数。若对每一个XED有则称/'为D上的奇(偶)函数。从函数上看，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。则对于奇偶性的判别可根据定义頁接在函数图像上进行观察判断。特别注意的是，在判别Z前必须确定函数的定义域是否关于原点对称。三、周期性定义⑴：设/为定
5、义在数集D上的函数。若存在J>0,使得对一切兀wD有fx±3）=/（x）,则称/为周期函数，6称为/的一个周期。显然，若5为的周期，则兀55为正整数）也是.f的周期。若在周期函数/的所有周期屮有一个最小的周期，则称此最小周期为/的基木周期，或简称周期。同样的，周期性的判别也可以根据定义肓接进行判别。特别的，常量函数/（x）=c是以任何正数为周期的周期函数，但不存在函数的基本周期。第二部分：函数的连续性木部分我们主要讨论连续性的定义及其证明；一致连续性的定义及其证明；连续和一致连续的关系；全变量连续和单变量连续的关系等一元函数的连续定义⑷：设函数/在某U（
6、儿）内有定义。若!讣）卄）则称/在点勺连续。一元函数的连续性的证明：1.直接利用定义，证明：Vr>0,3>0,当x-xQ<力时，有
7、/（x）-/（x0）
8、<£:例2.1证明Riemann函数/、丄，当x=£为既越分数，q〉on寸R（x）二〈qq0,当x为无理数吋在无理点上连续，在有理点上间断。（浙江大学）证先证在有理点上间断。设勺为有理点，兀0=卫（为既约分数），q>0,则7?（勺）=丄>0。qq由无理点的稠密性，m无理点列{e}tXo（当/1TOO时），但
9、/?(暫)_7?(兀o)
10、=0_丄=丄〉O(VneN),qq即Rdj/Rg)。故/?(兀)在有理点
11、不连续。再证在无理点上连续，设x()e［O,l］为无理点，则/?(x0)=Oo首先，我们从/?(x)的定义可以看岀，V£>0,R(x)>£的点兀，在［0,1］上最多只有有限个(事实上，要/?(%)>£*>0,X必须是有理点，若兀=£,7?(^)=->£,则OSpvqS丄。可见满足qqq£此不等式的有理数上最多只有有限个)。如此，可取力>0充分小，使得(兀。-力，兀()+6不含有qR(x)>eZ点，此即VxgOo-力,Xo+5),有
12、/?(x)-/?(x0)
13、=/?(x)14、?(兀)在一切无理点上都连续1.利用左右极限，证明：/Uo+O)=
