从各地高考数列题看明年湖北数列命题趋势

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1、从各地高考数列题看明年湖北数列命题趋势湖北省2014年高考数学文、理卷数列是同一个题,满分12分.笔者所在城市共15683人参加考试,文科第1小题均分3.25分,第2小题均分2.32分,计得分5.57分;理科第1小题均分4.05分,第2小题均分3.59分,计得分8.09分。第1小题考查等差、等比数列的基本概念,求通项公式;第2小题考查等差数列的前项和公式及一元二次不等式的解法。这题属中档题,难度不大,计算不繁,但得分率不高.试题回放I(2014年湖北卷文科T19、理科T18)已知等差数列满足:,且,,成等比数

2、列.(I)求数列的通项公式;(II)记为数列的前项和,是否存在正整数,使得>?若存在,求的最小值;若不存在,说明理由.解:(I)容易求得:或.(II)当时,不存在满足题意的;当时,存在满足意的,其最小值为41.此题第(I)问失分,主要忽略了公差的情况,漏掉了;由于第(I)问出错,导致第(II)问的解答不全;有的考生对求和公式不熟,有的考生不会解一元二次不等式.试题回放II(2012年湖北卷文科T20,理科T18)已知等差数列前三项和为,前三项的积为.(I)求等差数列的通项公式;(II)若,,成等比数列,求数列

3、的前项和.试题回放III(2013年湖北卷文科T19)已知是等比数列的前项和,,,成等差数列,且.(I)求数列的通项公式;(II)是否存在正整数,使得≥?若存在,求出符合条件的所有的集合;若不集在,说明理由.(2013年湖北卷理科T18)已知等比数列满足:,.(I)求数列的通项公式;(II)是否存在正整数,使得?若存在,求的最小值;若不存在,说明理由.新课改三年来,湖北命题方向一直保持稳定,三年的数列第一问,都是由方程组解出首项与公差,再得到通项公式.第二问都是前项和问题,02年与绝对值知识交汇,03年和04

4、年与不等式交汇。等差、等比数列是高考考查的重点和热点,主要考查学生的双基掌握情况及分析问题、解决问题的能力;数列的基本概念及其性质主要以选择题、填空题为主,有的作为解答题的一问;考查数列的通项公式及求和公式常常与其它知识交汇处命题,与三角、不等式、函数、解析几何等;等差、等比数列求和文科卷一般可用前项和公式直接求和,理科卷一般需用到错位相减法或裂项相消法求和.下面仅从2014年全国各省(市、区)高考数列题为例,谈高考数列的命题趋势.一、考查等差、等比数列的基本性质1.求基本量问题在等差数列或等比数列中,共有5

5、个基本量:、、、(或)、,只要知道了其中的3个,就可以求出其余的2个。求基本量问题主要在选择、填空题中出现.例1.(新课标全国卷II文科T5)等差数列的公差为,若,,成等比数列,则的前项和()A.B.C.D.湖北卷第(I)问已知首项,由等比数列性质,列方程求公差,而此题,已知公差,由等比数列性质列方程求首项,与湖北卷有异曲同工之妙.例2.(大纲全国卷广西文科T8)设等比数列的前项和为.若,,则()A.31B.32C.63D.64解:方法一由,可解出,,再求.方法二由等比数列的性质,,,成等比数列,直接可求出.

6、显然,方法二比方法一运算量小,方法一要讨论的取值,方法二规避讨论的取值.例3.(安徽卷理科T12)数列是等差数列,若,,构成公比为的等比数列,则.解:设公差为,依题意有展开、整理得:,又,数列基本量运算问题,多数省市都进行了考查,如福建卷理科T3、天津卷文科T5、江苏卷文科T7等.2.与其它知识交汇命题考查等差、等比数列的基本性质时,常常与其它知识交汇命题.例4.(广东卷T13)(文科)等比数列的各项均为正数,且,则.(理科)若等比数列的各项均为正数,且,则.广东卷文、理科以姊妹题呈现,与对数知识交汇,且由课

7、本习题改编来的.人教版必修5复习参考题P68BT1:等比数列的各项均为正数,且,则()A.12B.10C.8D.例5.(陕西卷T16)的内角,,所对的边分别为,,.(I)若,,成等差数列,证明:;(文科)(II)若,,成等比数列,且,求的值.(理科)(II)若,,成等比数列,求的最小值.解:(I),,成等差数列,,由正弦定理得:,又,即.文(II),,成等比数列,,又,,.理(II),,成等比数列,,≥,当时,的最小值为.陕西卷第二问以姊妹题呈现,与正、余弦定理知识交汇命题.例6.(江西卷文科T13)在等差数

8、列中,,公差为,前项和为,当且仅当时,取得最大值,则的取值范围是.解:,当时,取得最大值,.又对称轴,,解得:,综上,.这是与不等式交汇命题,还有北京卷理科T12也是与不等式交汇命题.二、求数列的通项公式问题1.已知某些项求通项公式例7.(新课标全国卷I文科T17)已知是递增的等差数列,,是方程的根.(1)求的通项公式;(2)略.例8.(福建卷文科T17)在等比数列中,,.(I)求;(II)略.已知

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