函数复习内容二四大性质doc

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1、函数复习内容二：函数的四大性质一、判断函数的单调性或求函数的单调区间的方法：1、直接法：利用已知的基本初等函数的单调性来判断有关函数的单调性；①一次函数，当时，在上为单调递增；当时，在上为单调递减。②反比例函数，当时，在及上是单调递减；当时，在及上是单调递增。③二次函数，当时，在上为递减，在上为递增；当时，在上为递增，在上为递减。④指数函数，当时，在上为单调递减；当时，在上为单调递增。⑤对数函数，当时，在上为单调递减；当时，在上为单调递增⑥幂函数（是常数，是自变量），牢记以下几个常见幂函数的单调性即可。在为单调递减，在上为单

2、调递增；在上为单调递增；的定义域是，在其区间上为单调递增；在上为单调递增。⑦勾对函数在及上为单调递增；在及上单调递减。⑧三角函数：，递增区间：；递减区间：，递增区间：；递减区间：，在上每一个区间上都是单调递增。用好以下结论：①与（为常数）在公共区间上的单调性相同；②当常数时，与在公共区间上的单调性相同；当常数时，与在公共区间上的单调性相反；③若时，与在公共区间上的单调性相反；④设时，与在公共区间上的单调性相同；⑤在公共区间上：增函数增函数增函数，减函数减函数减函数增函数减函数增函数，减函数增函数减函数。【例1】（1）若函数与

3、在区间上都是减函数，则函数在区间上是单调（填“增”或“减”）函数。（2）函数在区间上是增函数，在区间上是减函数。【例2】求出函数的单调递减区间。【例3】设函数，且时，恒有，求的取值范围。2、定义证明法：先求出函数的定义域，在定义域中选定区间，利用单调性定义证明。步骤为：①取数，②作差，③变形，④判号，⑤结论。【例1】（北京高考）设函数，求的单调区间，并证明在其单调区间上的单调性。【例2】函数对任意的，都有，并且当时，。（1）求证：是上的增函数；（2）若，解不等式。3、复合法：设函数都是单调函数，若与的单调性相同，则复合函数是

4、增函数；若与的单调性相反，则复合函数是减函数。简记为“同增异减”。【例1】求下列函数的单调区间：（1）；（2）【例2】（1）函数的单调增区间是（）、、、、（2）函数在区间内恒有，则的单调递增区间是（）、、、、4、图象法：如果是以图象形式给出，或者的图象容易作出，函数的单调性可由图象的直观性作出判断，并能对应写出函数的单调区间。【例】求下列函数的单调区间。（1）；（2）。5、求导法：用导数的方法求函数单调区间的步骤：①确定函数的定义域；②求导数，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实根；③把函数的间断点[包括的无定义点]的横坐

5、标和②中的各实根按从小到大的顺序排列起来，然后这些点把函数的定义域分成若干个小区间；④确定在各个小区间内的符号，根据的符号决定函数在每个相应小区间内的增减性。【例1】函数的单调减区间是（）、、、、【例2】（1）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是。（2）若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则的取值范围是。【例3】已知函数（为实数），。（1）讨论函数的单调性；（2）求函数的极值；（3）求证：。二、函数奇偶性：1、判定方法：①定义法：先看函数的定义域是否关于原点对称，再用定义式作出判断。或用变形形式作判断。②图象法

6、：为偶函数的图象关于轴对称；为奇函数的图象关于原点对称。③性质法：“奇+奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇×奇”是偶，“奇÷奇”是偶。（“偶+偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶×偶”是偶，“偶÷偶”是偶。2、掌握以下重要结论：①奇函数在处有定义，一定有。②是偶函数③奇函数在以原点为对称的两个区间内的单调性相同；偶函数在以原点为对称的两个区间内的单调性相反。④为偶函数，必有；为奇函数，必有。【例1】判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）（4）【例2】设定义在上的奇函数在区间上单调递减，若，求实数的取值范围。【例3】设是定义在实数

7、集上的函数，满足条件是偶函数，且当时，，则的大小关系是。【例4】已知是上的奇函数，且当时，。（1）求；（2）求在上的表达式。【高考考题】1、（2013北京）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（）、、、、2、（2013湖南）已知是奇函数，是偶函数，且，，则等于（）、、、、3、（2013重庆）已知函数，，则=（）、、、、4、（2013天津）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是（）、、、、5、（2013江苏）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集用区间表示为。6、已知是奇

8、函数，且，若，则。【考点训练】1、函数①；②；③；④在上为增函数的有（）、①②、②③、③④、①④2、函数在上是增函数，在上是减函数，则（）、、、、3、函数在下列哪一个区间上是增函数（）、、、、4、若函数在上是增函数，则实数的取值范围为（）、、、、5、下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减