把数学建模的思想和方法融入到大学数学教学中去02116

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把数学建模的思想和方法融入到大学数学教学中去北京理工大学叶其孝一.数学和数学建模的重要性二.为什么要把数学建模的思想和方法融入大学的主干数学课程?三.怎样融入?A.融入的几个原则B.具体做法:两个例子1.复利和抵押贷款买房问题2.易拉罐问题—一个想法改变了可口可乐易拉罐的形状四.几个值得注意的问题五.困难和可能的解决办法一.数学和数学建模的重要性高技术本质上是数学技术.戴维(E.David,1972年曾任尼克松总统的科学顾问，1966年入选美国工程院院士)在1984年说的一段话： “…对数学研究的低水平的资助只能来自对于数学研究带来的好处的完全不妥的评价，显然，很少有人认识到当今被如此称颂的‘高技术’本质上是数学技术。”...thelowlevelsofsupportformathematicsresearchcanonlyflowfromatotallyinadequatepreciationofthebenefitsitconfers.Apparently,toofewpeoplerecognizethatthe"hightechnology"thatissocelebratedtodayisessentiallymathematicaltechnology.E.E.DavidJr.,NoticesofAmericanMathematicalSociety,v.31(1984),no.2,p.142.**********************************21世纪是科学和工程数学化的世纪.美国科学基金会数学部主任Eisenstein在评述该基金会把数学科学列为2002-2006该基金会五大创新项目(其他四个分别为:环境中的生物复杂性,信息技术研究,纳米科学和工程,以及21世纪的劳动力)之首时所说的,“该重大创新项目背后的推动力就是一切科学和工程领域的数学化(Mathematization).”"Thedrivingforcebehindtheinitiativeisthe'mathematization'ofallareasofscienceand engineering."—NSFLaunchesMajorInitiativeinMathematics,AllynJackson,NoticesofAMS,v.48(2001),no.2,190-192.Eisenstein说.“还有，数学带给其他科学的‘附加值’现在是比过去更加看得见了.其他科学认识到的这种‘附加值’是该创新项目的主要推动力量.”"Also,the'value-added'thatmathematicsbringstoothersciencesismorevisibletodaythanithasbeeninthepast.This'value-added'thatothersciencesperceiveisamajordriverinthisinitiative."**********************************把对外部世界各种现象或事件的研究化归为数学问题的数学建模的方法在各种研究方法,特别是与电子计算机的出现有关的研究方法中,占有主导地位.数学建模的方法能使人们在解决复杂的科学技术问题时设计出在最佳情势下可行的新的技术手段,并且能预测新的现象.A.H.Тихонов,MathematicalModel,《EncyclopaediaofMathematics》,KluwerAcademicPublishers,1995,Vol.3,pp.784-785.《数学百科全书》第三卷,p.648.********************************** 一切科学和工程技术人员的教育必须包括数学和计算科学的更多的内容.数学建模和与之相伴的计算正在成为工程设计中的关键工具.科学家正日益依赖于计算方法，而且在选择正确的数学和计算方法以及解释结果的精度和可靠性方面必须具有足够的经验.对工程师和科学家的数学教育需要变革以反映这一新的现实.FriedmanA.,J.Glimm,J.Lavery,Themathematicalandcomputationalsciencesinemergingmanufacturingtechnologiesandmanagementpractices(新兴的的制造技术和管理实践中的数学和计算科学)—SIAMReportonIssuesintheMathematicalSciences,SIAM,1992,p.62-63.Theeducationoftechnicalpersonnelofallbranchesofscienceandengineeringmustincludeincreasedexposuretothemathematicalandcomputationalsciences.Mathematicalmodelingandassociatedcomputationsarebeingcriticaltoolsintheengineeringdesignprocess.Scientistsrelyincreasinglyoncomputationalmethodsandmusthavesufficientexperienceinmathematicalcomputationalmethodsandreliabilityoftheresults.Themathematicaleducationofengineersand scientistsneedstochangetoreflectthisnewreality.**********************************鉴于数学研究的范围无限广阔，这门科学，即使是现代数学，也还处于婴儿时期。如果文明继续进步,在今后两千年内，在人类思想领域里具有压倒性的新情况，将是数学地理解问题占统治地位."Havingregardtotheimmensityofitssubject-mattermathematics,evenmodernmathematics,isascienceinitsbabyhood.Ifcivilizationcontinuestoadvance,inthenexttwothousandyearstheoverwhelmingnoveltyinhumanthoughtwillbethedominanceofmathematicalunderstanding."—AlfredNorthWhitehead(阿爾弗雷德·諾思·懷特黑德,1861,2,15~1947,12,30)1939年12月15日在哈佛大学的讲演:"MathematicsandtheGood"inP.A.Schilpped.,1951.ThePhilosophyofAlfredNorthWhitehead,2nd.ed.NewYork,TudorPublishingCompany:666-81.胡世华，信息时代的数学，数学进展，1988,17(1):12-20.钱学森,发展我国的数学科学,数学进展,1990,19(2):129-135.********************************** 数学等于机会MathematicsEqualsOpportunity“我今天给你们的统计资料清楚地表明：“数学等于机会”。当我们为即将来临的世纪作准备时，不可能再送给美国父母和学生别的更关键的信息了。”“AsthestatisticsIhaverelatedtoyoutodaymakeclear,‘MathematicsEqualsOpportunity’.TherecouldbenomorecrucialmassagetosendtotheparentsandstudentsofAmericaasweprepareforthecomingcentury.”—RichardW.Riley(克林顿任总统时的教育部长),Thestateofmathematicseducation:Buildingastrongfoundationforthe21stcentury,aspeechpresentedattheinvitationoftheAMSCommitteeonSciencePolicyandtheAMSCommitteeonEducation,NoticesoftheAMS,v.45(1998),no.4,487-491.—RichardW.Riley,数学教育的现状：为21世纪建立强大基础，应美国数学会(AMS)科学政策委员会和教育委员会的邀请于1998年1月8日在美国Baltimore举行的美国数学会和美国数学协会(MAA)联合数学会议上发表的演说，NoticesoftheAMS,v.45(1998), no.4,487-491.中译文登在：数学译林—国际数学进展，v.17(1998),no.3,252-256,207.数学和数学建模无处不在、日益重要,作为数学教师我们有义务尽快让学生学习初步掌握数学建模的思想和方法.二.为什么要把数学建模的思想和方法融入大学的主干数学课程?1.社会发展和科技进步、提高数学教学质量和提高学生学习数学的积极性和提高能力的需要.尽早(通过一年级的高等数学课程等)让大学生了解:良好的数学基础,特别是对数学建模是用数学去解决各种实际问题的桥梁,了解数学建模三要点:合理假设、数学问题和解释验证,对于他们一生的事业都有好处的.也是数学教学改革、提高教学质量的需要,有利于讲清重要的数学概念、方法的来龙去脉,进一步提高教学质量.当然要做到这一点,应该说,途径不是唯一的,而是“条条大路通罗马(AllroadsleadtoRome)”.但是在适当的地方、 运用恰当的数学建模实例和合适的教学方法进行教学是有可能给学生留下深刻的印象,提高他们的学习积极性,从而达到上述目的.2.有助于提高数学教师、数学教研室、数学(院)系在学校和社会上的地位和发言权.特别是为青年教师的提高创造条件,特别是培养青年教师的个人教学风格.但是,现实的情况是令人担忧的.3.为了进一步提高大学生数学建模竞赛的质量,实现一种良性循环.三.怎样融入?2002–2005全国大学生数学建模竞赛组委会曾经组织执行了由李大潜牵头的教育部教改立项“将数学建模思想和方法融入大学数学主干课程教学中的研究与试验”,取得了一定的成果和经验.A.融入的几个原则:1.实例要简明易懂结合日常生活感觉得到的与工程或现代技术有关,或者结合专业且简明易懂,能引起学生的兴趣;2.要能够结合课程(微积分)的今后可能用到的 主要概念、思想和方法,能提高学生学习的积极性和主动性;适当的灌输也是必要的.3.不拘形式(不强求统一)、因地制宜(不同学校、专业不同对待)、因材施教(特别是要培养优秀学生,,可以在习题(课外作业、小的研究课题等)上做文章)、追求实效.在不增加学时或至多增加2学时的前提下八仙过海、各显神通.与时俱进,逐步提高层次.4.要和教学研究相结合,不断发现问题,不断改进教学.5．重点放在一年级第一学期,因为这时候的大学生易于接受教师的教育和引导.结合容易懂的实际问题入手,谆谆善诱、由浅入深与适当灌输相结合,特别强调加深理解微积分的重要概念、思想和方法,通过建模的逐步深入使学生明白为什么一定要认真学好、掌握好数学的思想和方法.尤其对于青年教师来说,这个学期的教学和教学研究对于自己的成长和教学风格的确立是极其重要的. B.具体做法:I.动员更多的教师编写可以融入的教学单元,特别是为高等数学、线性代数和概率统计初步三门课程编写可以融入的教学单元,主要是提供可以融入各种课程的实际问题的建模教学的素材(问题的陈述、建模过程、求解和验证;习题、小的研究课题和考题的建议等),以供有心做的教师参考和钻研,从而能够结合学生情况进行富有成效的教学,特别是培养个人的教学风格.以下我们通过举例说明,我们将结合国内用得比较多的两本教材:①同济大学应用数学系编,微积分,上册,高等教育出版社,1999;②王绵森、马知恩主编,工科数学分析基础,高等教育出版社,1998.我们按照①相应的页码提出建议.包括为什么要让大学生尽早了解和使用计算器和数学软件等.对于学生要因材施教,不一定人人都一样要求,要为优秀学生创造更好的学习条件和环境. 两个例子数学建模最关键的是：合理假设，数学问题，解释验证1.复利和抵押贷款买房问题复利应用实例一位使用工商银行国际信用卡的张姓用户,2004年12月用工商银行的信用卡,刷卡消费39771.52元，由于记错了还款额，他在还款日期(2005年1月25日)到期之前,分多次共计还款39771.28元,少还了0.24元（事后才发现）. 但就是这区区0.24元,工商银行在他1月份的账单里记账两笔共计853元的利息.张先生从网上查到账单后,立即致电工商银行95588,得到的答复是最新的国际信用卡章程已将原来只对逾期没有还的欠款部分收取利息改为对消费款全部从消费发生日起收取每日万分之五的利息.我们先不说张先生是否及时知道新的章程,这种收费是否合理.这里,我们只问一个问题:工商银行按多少天来收的利息?解.已知,由(3.1-2)中的,代入计算得天.在①pp.27-33“第二节数列极限的定义”中强调等比数列，特别是在p.31的例3中，加上最重要的几何(等比)级数部分和的求和公式 的内容,然后提出下面的问题:例1.在“文曲星”电子词典(或类似的电子词典)中，打开其目录,在“计算”目录下有一项“贷款计算”，打开后有下列显示：贷款金额200,000贷款年数20年利率(%)6.39%=0.0639(月利率=6.39/12=0.5325%)如果是上述输入，则会见到如下“计算结果”每月应付款数(记为x)1478.22总还款额354,773.41总利息154,773.41问题:用数学建模的方法来回答:这是怎么算出来的.假设:月等额还款提示:借款模型是按月利率，按月计算的。用符号表示，设一开始的贷款金额记为，贷款年数记为，年利率记为R=0.0639，月利率记为r=R/12=0.005325 确定变量以及变量之间的关系,即数学模型的建立：这个月(记为第n个月)尚欠银行的款数记为,上个月(记为第n-1个月)结余欠款记为加上利息记为，减去这个月的还款,还欠.所以数学模型为:这个月的欠款等于上个月欠款加上利息,再减去这个月的(等额)还款;一开始的借(欠)款已知;20年必须还清.用数学语言表示,即数学模型为:表示20年=240个月还清贷款.求解这个数学模型只需要用到等比级数部分和的求和公式.解: 容易观察出规律,并用数学归纳法证明,对于任何n有由等比级数部分和的求和公式()于是有由于,所以 验证“文曲星”电子词典显示的结果是否正确.不算出数值,怎么让人相信?但是,手算是不现实的,这就涉及到在教学中要不要(允许不允许)使用计算器和计算机及相应的数学软件这个不可回避的问题(实际上也是不应该回避的问题).我认为,做课外作业应该允许,考试不允许.到底应该怎么做,值得认真研究,但这不是今天在这里要讨论的问题.不过,我们必须及时关注于2009年5月18日由WolframResearch(沃尔弗拉姆研究)公司正式推出(发行)的一个基于Mathematica数学软件和ANewKindofScience(一种新科学,厚达1280页,缩写为NKS)名为Wolfram|Alpha的新的计算型知识(搜索)引擎(Computationalknowledgeengine)以及它将对科学研究和教育产生的影响.Wolfram|Alpha的作者StephenWolfram(1959,8,29~,1979年在加州理工学院(CIT)获理论物理学博士学位,1988年他推出了强大的计算机软件Mathematica),他最近撰文表示：“(Wolfram|Alpha的)用户所要做的就是用自然的语言问问题，而搜索引擎则能准确进行回答. 我很高兴地宣布，通过综合使用多种启发性的算法（algorithmsandheuristics）和语法发现（linguisticdiscovery），我们很可能取得了一些重要的理论突破，并能实际上使其运转.我们将最终形成一个网站：www.wolframalpha.com通过这个网站，只要简单输入问题，我们就可以接入到一个巨大的系统，这个系统是拥有极其庞大信息量的数据库.”关于它将对数学教育产生的影响,例如,可以看,由JeffreyR.Young写的发表在2009年6月12日ChronicleofHigherEducation(高等教育记事)上的文章“ACalculatingWebSiteCouldIgniteaNewCampus‘MathWar’(计算搜索网站可能会点燃新一轮的‘数学战争’)”.用Mathematica数学软件的输入和输出输入:Clear[r,n,N,x] 输出:1478.22更多的应用可参考[1]:《大学生数学建模竞赛辅导教材(五)》第3章，叶其孝主编，湖南教育出版社，2008.模型的变形:[1]p.33,(3.1-4)–(3.1-9),4个变量中知道任何3个就可以求出另一个.(3.1-4)(3.1-6)(3.1-7)或(3.1-7)*(3.1-8) 为求的,需要求解下面的代数方程式(3.1-9)例2.根据报道,乔先生向银行贷了22万元,贷款期限是2003年9月-2013年9月共120期,采用等额本息还款法,月供2338元.目前,已还16期,还剩104期，贷款余额为198155元,乔先生手头正好有5万元可用,因此提出申请提前还款5万元.如果提前还款5万元.得到批准,乔先生又想保持贷款期限不变,即再继续105期,那么按照新的利率6.12%他的月还款是多少?解:该报道中没有说月利率r为多少,因此我们首先要求r.因为=220000,=120,=2338.解方程(3.1-9),即解我们可以利用Mathematica数学软件来求解.首先定义(3.1-9)右端的函数如下Clear[a0,f,n,r,x]f[a0_,n_,x_,r_]:=a0(1+r)^(n+1)-(a0+x)(1+r)^n+x 也可以单击“File”菜单，把光标移到“Palettes”选项，在弹出的子菜单中再单击“BasicCalculation”项，按屏幕上出现的基本命令选择窗口，可以直接输入以下数学公式的形式f[a0,n,x,r]然后给已知的a0,n,x赋值,并画图.根据我们对利息的了解,r的变化范围为一定大于0,小于0.2.a0=220000;n=120;x=2338;Plot[f[a0,n,x,r],{r,0,0.02},AxesLabel®{r,f}]可见f的零点大约在0.005附近。我们可以再精细一点画图看得更清楚一点,r的变化范围为{0.004,0.005}，画图如下 Plot[f[a0,n,x,r],{r,0.004,0.005},AxesLabel->{r,f}]因此,我们可以用0.0042作为初值,求f的零点FindRoot[f[a0,n,x,r]==0,{r,0.0042}]{r→0.00420197}注意，利用FindRoot语句，初值确定的好坏是很重要的,所以上述做法的步骤是很有效的.思考题:能否用Solve[f[a0,n,r,x]==0,r]或NSolve[f[a0,n,r,x]==0,r]来求r.进行比较,哪个更好些，或者说它们各自的优点是什么？r≈0.00420197,或者r≈0.004202,年利率为0.050424.再由(3.1-4),分别令k=16和k=15计算之,分别计算 和得到的结果分别为:196656和198161.如果报道中的198155没有错误,那么198161非常接近198155.这就说明报道有误.实际上,乔先生只还了15期,还有105期要还.现在的=148,155,=105,利用(3.1-6)按照新的月利率r=0.0051计算,他的月还款是1825.86.如果他不还5万元,继续还105期的话,他的月还款是2442.06.对Mathematica有兴趣的读者可以做下面的思考题。综上所述,如果我们能应用模型(3.1-3)到(3.1-9)的话,我们可以解决许多相关的问题.习题1.如果不是等额还款,例如,每月先还利息再加还等分的本金,数学模型将会怎样?2.你当前的信用卡欠款余额为12,000美元, 而当前的利率为19.9%/年.利息是按月计算的.确定什么样的月还款p美元才能在a.2年,假定不会有新的信用卡支付.b.4年,假定不会有新的信用卡支付.还清欠款.现在假定你每月用信用卡支付105美元.确定什么样的月还款p美元才能在a.2年b.4年还清欠款.考试题某人想贷款买房,他在10年里每月的还款能力x=3000没有问题,已知贷款年利率r=5%,贷款年数N=10~15年.请通过数学建模的方法回答:如果N=10,请你估算一下他应该借(贷款)多少?(提示:)如果N=15,请你估算一下他应该借(贷款)多少?(提示:)答案分别约为270220(或264000~270000,10年),355511(或36000,15年),为什么? 用手算做估算是应该要求的,因为1.8194≈1.8,0.4<0.8/1.8=0.44444…<0.5,0.44´600000=264000,0.45´600000=270000.2.45409≈2.5,1.5/2.5=0.6,0.6´600000=360000.研究课题1.甲从一个借贷公司贷款60000美元,年利率为1.2%,25年还清.假设是月等额还款(即一月为一期),问他每月要还多少美元?(答案:约632美元.总利息为189600美元.)这时有另一个借贷公司出来说,条件没有变化,就可以帮你提前2年还清,只要:1.每半个月交一次还款=原来还款的一半,并没有增加你的负担;2.因为每半个月就要给你开一张收据,文书工作多了,要求你预付3个月的还款.(即632´3=1896美元,而2年的还款总额为15168美元,1896只是15168的八分之一.会有顾客认为是合算的!)试问这另一个借贷公司会赔钱(慈善机构!)还是仍然可以赚钱?把原来的一期(一个月)拆分为相等的两期, 从而xx/2,rr/2确实能够提前还清吗?如果是,能提前多少时间还清?把原来的一期(一个月)拆分为相等的m期,从而xx/m,rr/m还能提前还清吗?m¥时将会怎样?①pp149–155,洛必大(L’Hospital或L’Hôpital)法则,¥·¥型极限.2.为什么同样的借贷利率，总还款(总利息)有不同呢?请仔细阅读下面的1998年12月30日《金陵晚报》的报道:“一笔总额为13.5万元的个人住房组合贷款,在两家银行算出了两种还款结果,而差额高达万元以上,这让首次向银行借款的江苏某进出口公司程姓夫妇伤透了脑筋.据介绍,小程打算贷8万元公积金贷款和5.5万元商业性贷款,他分别前往省建行直属支行和市建行房地产信贷部咨询,其结果是,这13.5万元贷款,分15年还清,在利率相同的情况下省建行每月要求还本付息1175.46元（其中公积金贷款660.88元,商业性贷款514.58元）,而市建行每月要求还1116.415元（其中公积金贷款634.56元，商业性贷款481.855元）. 按贷款180个月一算,省建行的贷款比在市建行贷款要多10628.1元.但两家银行均称,结果不一样纯属正常.有关行家向记者解释说,省建行虽然也是等额还款,但实行的是先还息后还本原则,用行话说就是按月结息,每月还本还息不等,但每月总额一样.举个简单的例子,若每月等额还款1,000元,第一个月还本息分别为100元、900元，而第二个月还本息分别变为200元、800元,依此类推.而市建行实行的是较便于市民理解的等本、等息、等额还款法.为不让市民首期还款时面对巨额利息为难,该行取了一个利息平均值,平摊到每个月中.上述两种算法都是人民银行许可的.值得一提的是,小程夫妇的麻烦已引起了央行的重视,为规范个人住房贷款计息办法,央行重新明确了个人住房贷款的利息计算方法.从1999年1月1日起,除保留每月等额本息偿还法外,又推出了利随本清的等本不等息递减还款法公式是：每月还款额={(贷款本金÷贷款期月数)＋(本金–已还本金累计额)×月利率}. 同一笔贷款按这两种方法计算还款,偿还总金额相同.”请回答下面的问题:1.省建行的“每月等额本息偿还法（先还息后还本原则）”中的每月还款额是怎样算出来的?2.央行推出的“利随本清等本不等息偿还法”的每月还款额是怎样算出来的?并用市建行的结果进行计算.3.市建行的“等本、等息、等额还款法”是怎样得到的?4.试分析这三种算法的不同之处及利弊.在养老保险、理财等问题中有许多类似的问题.在①pp291–295“第三节一阶线性微分方程”插入以下例子再论抵押贷款—连续模型(微分方程)模型和离散模型的关系我们还是以房贷为例来说明问题,假设一开始的投资(或借款)本金总额记为,单位时间的利率记为r%,只不过这时假设时间是连续的,也就是说,要把n个单位时间后所欠金额记为 改为t>0时刻所欠金额.我们来建立模型,先不考虑等额还款.在时间区间上,时刻所欠金额为,时刻所欠金额为,因此在区间里所欠金额的增加为,应该有或如果的长度越来越小,并趋于零时,即时,就得到下列连续模型(微分方程模型)它的解为如果设单位时间的长度为1,等于 个单位时间,即,从而有如果比较小,则可以认为有一次近似式或由①pp.141~149“第六节泰勒(Taylor)公式”,特别是p.142的(5)在和之间.若,则有如果比较小,则可以认为有一次近似式现在来考虑等额还款,即单位时间里还固定的金额,于是模型变成 令,就得到(3.1-11)由两边乘,即从0到t积分就得到 当时,再利用的一次近似就得到若，则连续模型中相应的公式分别为 为求的,需要求解下面的代数方程式现在我们以[1]中例3的数据来计算之，即=220000,=120,r=0.0042,=2338.我们以计算r为例Clear[a0,n,r,x]g[a0_,n_,r_,x_]:=a0rExp[nr]-xExp[nr]+xg[a0,n,r,x]a0=220000;n=120;x=2338;Plot[g[a0,n,r,x],{r,0,0.01}] FindRoot[g[a0,n,r,x]==0,{r,0.0042}]{r→0.00423133}.®r差约为0.00003133.由r=0.00423133;2338.其他留作习题.所以,在经济、管理类专业的课程中一定要学习这些连续模型(微分方程模型)2.易拉罐问题—一个想法改变了可口可乐易拉罐的形状在①pp.166~176“第九节 函数的极值与最大、最小值”中,把“二、最大值与最小值问题”改为“二、最优化问题”，并插入“例?易拉罐问题”.简化假设:易拉罐用材的体积与其表面积成正比.简化模型1分析和假设：首先把饮料罐近似看成一个直圆柱体是有一定合理性的.要求饮料罐内体积一定时,求能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比.实际上,用几何语言来表述就是:体积给定的直圆柱体,其表面积最小的尺寸(半径和高)为多少?表面积用S表示,体积用V表示,则有于是我们可以建立以下的数学模型：其中S是目标函数，是约束条件. V是已知的(即罐内体积一定),即要在体积一定的条件下,求罐的体积最小的r,h.如果考虑材料厚度的话,如果假设所用材料与罐的表面积成正比,那么其中心断面的图形如下:F={AbsoluteThickness[1],Line[{{-3.2,12.4},{-3.2,0},{3.2,0},{3.2,12.4},{-3.2,12.4},{-3,12.2},{-3,0.2},{3,0.2},{3,12.2},{-3,12.2}}]}mygrapg=Show[Graphics[F],AxesLabel->{x,y},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-1,12.9}]F={AbsoluteThickness[1],Line[{{-3,0.2},{-3,0},{3,0},{3,0.2},{3.2,0.2},{3.2,12.2},{3,12.2},{3,12.4},{-3,12.4},{-3,12.2},{-3.2,12.2},{-3.2,0.2},{-3,0.2},{-3,0},{3,0},{3,0.2},{3,12.2},{-3,12.2},{-3,0.2},{3,0.2}}]}mygrapg=Show[Graphics[F],AxesLabel->{x,y},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-1,12.9}] 把代入,得到求驻点(临界点,criticalpoint)又由于 ，.所以由①pp.141~149“第六节泰勒(Taylor)公式”,特别是p.142的(5)知道是一个局部极小值点。实际上，它也是全局极小值点，因为临界点是唯一的。最小面积为有没有直径等于高的易拉罐吗？没有!简化模型2分析和假设：用手摸一下顶盖就能感觉到它的硬度要比其他的材料要硬(厚,因为要使劲拉),假设除易拉罐的顶、底盖外,罐的厚度相同,记作,顶、底盖的厚度相同为.想象一下,硬度体现在同样材料的厚度上(前面的).因此,我们可以进行如下的数学建模.这时必须考虑所用材料的体积. F={AbsoluteThickness[1],Line[{{-3.2,0},{3.2,0},{3.2,12.8},{-3.2,12.8},{-3.2,0},{3.2,0},{3,0.2},{3,12.2},{-3,12.2},{-3,0.2},{3,0.2}}]}mygrapg=Show[Graphics[F],AxesLabel->{x,y},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-1,12.9}]明确变量和参数：设饮料罐的半径为r（因此，直径为d=2r）,罐的高为h.罐内体积为V.b为除顶、底盖外(即侧面体积)的材料的厚度.其中r,h是自变量,所用材料的体积SV是因变量,而b和V是固定参数,是待定参数.饮料罐侧面所用材料的体积为饮料罐顶盖所用材料的体积为饮料罐底部所用材料的体积为所以,SV和V分别为, 因为,所以带的项可以忽略(极其重要的合理假设或简化,为什么?).因此记.于是我们可以建立以下的数学模型：其中S是目标函数，是约束条件,V是已知的(即罐内体积一定),即要在体积一定的条件下,求罐的体积最小的r,h和使得r,h和测量结果吻合.这是一个求条件极值的问题.模型的求解：一种解法( 从约束中解出一个变量，化约束(条件)极值问题为求一元函数的无约束(无条件)极值问题)从解出,代入S,使原问题化为：求d:h使S最小,即,求r使最小.求临界点:令其导数为零得解得临界点为,因此测量数据大致为h/r=2,即相当于,即顶、底盖的厚度是其他材料厚度的2倍.为验证这个r确实使S达到极小。计算S的二阶导数所以,这个r确实使S达到局部极小, 因为临界点只有一个,因此也是全局极小.习题(或思考题)如果不忽略高级无穷小量，结果将会怎样?代入h的表达式,(死算)得到解得同样的结果！ 在求区间上分段光滑函数的最大值问题时，有的教材,例如FrederickR.Adler(DepartmentofMathematicsandDepartmentofBiology,UniversityofUtah)ModelingtheDynamicsofLife–CalculusandProbabilityforlifescientists,Brooks/ColePublishingCompany,1998.(该书2005年出了第2版)提出了连续函数求最大、最小的如下算法：p.200,Algorithm3.1(Findingglobalmaximaandminima)1.Computethevalueofthefunctionattheendpointsandanywherethefunctionisnotdifferentiable.计算函数在端点和不可微点处的值.2.Findallcriticalpoints.求全部临界点.3.Computethevalueofthefunctionatallcriticalpoints.计算所有临界点处的值.4.Thelargestofthenumbersfoundinstep1 and3istheglobalmaximum.Thesmallestofthenumbersfoundinstep1and3istheglobalminimum.第1、3步求得的最大(小)值就是该连续函数的整体(全局)最大(小)值.p.202,Algorithm3.2(Findinglocalmaximaandminimawiththesecondderivative)1.Findallcriticalpoints.2.Computethesignofthesecongderivativeatallcriticalpoints.3.Criticalpointswherethesecondderivativeispositivecorrespondtolocalminima,andcriticalpointswherethesecondderivativeisnegativecorrespondtolocalmaxima.这就可能引起我们对如下问题的思考:什么是算法?算法为什么重要?上述算法在实际中都是可行的吗?值得向同学介绍.算法(algorithm)定义计算过程的一组详细指令(从而这个过程也称为算法(algorithmic)过程),它开始于(给定的算法的一定数量的可能输入中的)一个任意输入(input),而且其目的在于得到一个完全由输入和指令决定的结果(result)(或输出(output)). —《数学百科全书》,卷1,科学出版社1994,pp.119–121.简化模型3易拉罐可以简化为圆台加圆柱形罐(黏接长度短一些,就降低成本了!)我们假设圆台部分是个直圆台,实际上,它也可能是某个曲线段(例如,双曲线的一段)绕中轴线旋转而得的圆台.假设所用材料与罐内的表面积成正比,即,各部分的材料体积与该部分的面积成正比来近似制罐材料的体积，见下图(该图比较夸张!) 由普通的数学手册可以查得：直角梯形绕其垂直底边的腰旋转一周所得几何体称为圆台.对于上为圆台下为圆柱体的立体.设圆台上底半径为r,下底半径为R,高为b,圆柱体部分的高为h,则有圆台的体积=圆台的侧面积=上为圆台下为圆柱体的立体(简称圆台加圆柱体)的体积=实际上,在①pp242–257“第三章第八节定积分的几何应用举例”中可以加一个习题：求圆台的体积和侧面积,因为pp250–255“三、 平面曲线的弧长”已经有.圆台加圆柱体的表面积=底半径为R,高为H的圆柱体的体积=用定积分可以计算平面曲线y=y(x)绕x旋转所得立体的体积和表面积也可以得到上述公式.底半径为R,高为H的圆柱体的表面积=圆柱体的上底往里缩小一点,如果表面积比同体积的圆柱体小,那么黏结费用就会省一点,就提高了效益!是这样吗?算一下!现在 过点的直线方程为所以圆台的体积为圆台加圆柱体的体积=由圆台加圆柱体的体积=圆柱体体积解得 由绕x轴旋转得到的圆台的侧表面积为（因为）圆柱体的表面积=圆台加圆柱体的表面积=圆柱体的表面积-圆台加圆柱体的表面积= k=3;R=4; 《大学生数学建模竞赛辅导教材(五)》第3章，叶其孝主编，湖南教育出版社，2008.附录pp.57–64.习题或研究课题1.试证明,在周长相等的矩形中,正方形的面积最大.试证明,表面积相等的长方体中,正方体的体积最大.(到市场上去考察各种箱包、容器的尺寸,并给予一定的解释.)2.正椭圆柱形状的饮料罐的设计.求长轴为短轴K倍的正椭圆柱体积一定时能使其表面积最小的短轴和高的比. (提示:长轴为a，短轴为b(a>b>0)的椭圆的面积为，它的周长为.虽然它不能用初等函数表示,但是当给出a和b的具体数值时,可以用数学软件来计算它的值.若令称为第二类不完全椭圆积分,或Legendre第二类椭圆积分,是一类重要的特殊函数.椭圆函数是椭圆积分的反函数.)①pp.252–253例11.怎样组织编写更好的可以融入的例子,需要大家做更多的努力.四.几个值得注意的问题1.与时俱进:一个值得注意的动向:最近Springer出版社开始出版一套完全是从教学角度写的“SpringerUndergraduateTextsinMathematicsand Technology(施普林格数学和技术大学生教材)”,第一本是译自法文的ChristianeRousseau,YvanSaint-AubinMathematicsandTechnologySpringer|2008-08-19|ISBN:0387692150|582pages|PDF|22,2MB目录(Tableofcontents)序言(Preface)1.地球上和空间中的定位(PositioningonEarthandinSpace)2.装饰带和镶嵌(FriezesandMosaics) 3.机器人运动(RoboticMotion)4.骨架和伽玛射线放射外科手术(SkeletonsandGamma-RayRadiosurgery)5.储蓄和贷款(SavingsandLoans)6.纠错码(Error-CorrectingCodes)7.公开密钥密码学(PublicKeyCryptography)8.随机数生成(Random-NumberGenerators)9.Google(谷歌)和PageRank(Page排序)算法(GoogleandthePageRankAlgorithm)10.为什么每秒44,100个样本就可以了?(Why44,100SamplesperSecond?)11.图象压缩:迭代函数系(ImageCompression:IteratedFunctionSystems)12.图象压缩:JPEG标准(ImageCompression:TheJPEGStandard)13.DNA(脱氧核糖核酸)计算机(TheDNAComputer)14.变分法(CalculusofVariations)15.科学闪光篇(ScienceFlashes)索引(Index)实际上,我国也已经出版了一些与现代技术有关的数学建模的案例的书,例如姜启源、谢金星主编,数学建模案例选集, 高等教育出版社,2006.谭永基等编写,经济管理数学建模案例教程,高等教育出版社,2006.等等.但是,从实际教学可行的角度去编写做得不够,需要大大加强.COMAP(ConsortiumforMathematicsanditsApplications,数学及其应用联合会及其执行总裁SolomonA.Garfungel其人,值得我们学习什么!2.与教学研究相结合,加强交流.讲稿(学生的具体反应)、习题(有多少学生做了,做的情况)、小的研究课题(有学生做了吗?做得怎样)、考题(成绩分布),教师自己对这样融入的利弊的思考、反思和总结,提出进一步做好的建议等.可以在两年一次的全国数学建模教学与应用会议上进行交流.把融入课程的教学和研究相结合,具体建议如下：1．写好1-2次讲把数学建模的思想和方法融入课程的讲稿; 2．习题：几个，有多少学生做了，从教师的角度看完成的情况如何;3．期中或期末考试的考题，1个还是2个题，有多少学生做了，分析,教师满意的程度如何;4．学生对这1-2次课的书面或口头反应;5.有没有留小的研究性题目,有没有学生做,做的情况如何;6．有没有教师设计的问卷调查.例如我曾经设计过如下的问卷调查问卷调查表问题是否在学习本节讲课前,你听说过数学模型和数学建模这两个名词吗?在学习本节讲课前,你了解数学建模吗?在学习本节讲课前,你参加过有关数学建模的活动吗?学习本节讲课后,你对数学建模是否有所了解?在学习中有关数学建模的内容时,你觉得有困难吗? 如果回答“是”，请写出具体困难在那里.通过学习本教学单元你对数学建模产生兴趣了吗?你有没有进一步选修数学建模课的愿望?你有没有参加数学建模竞赛的冲动?通过学习本教学单元你对学习数学的兴趣是否更大了?你对改进教学有什么具体的建议.3.与大学生数学建模竞赛的关系参加竞赛的学生总是少数.我们希望有一个良性循环:每个大学生在一年级就初步接受过数学建模的内容和大学生数学建模竞赛的初步介绍;教师可以吸收有兴趣、有基础的同学组织兴趣小组,课余时间给他们讲授数学建模的更多的知识、 方法和思想;其中一部分学生可以参加竞赛,甚至教师的研究课题等.4.有时候勉强的灌输还是需要的而且可能是有效的.我建议:每位教高等数学(微积分)的老师在每年9月我国的竞赛大学生数学建模竞赛开始前后花5-10分钟给自己授课的一年级学生简要讲一下什么是数学建模,特别是有一个大学生数学建模竞赛,向有兴趣进一步了解的同学提供有关信息,例如:可以访问http://mcm.edu.cn网站或与某某老师联系等.这样做了,我们可以力争每年600多万大学生中有90%以上的学生知道数学模型和数学建模,有一个大学生数学建模竞赛,有兴趣的学生以后会参加竞赛.竞赛会进入一个良性循环.例如把下面这几句话略加解释地讲给学生听:数学模型(MathematicalModel)是用数学符号对一类实际问题或实际发生的现象的(近似的)描述。而数学建模(MathematicalModeling)则是获得该模型并对之求解、验证并得到结论的全过程。数学建模不仅是了解基本规律，而且 从应用的观点来看更重要的是预测和控制所建模系统的行为的强有力的工具。五.困难和可能的解决办法1.领导和非数学界可能有的一些不正确看法例如:《参考消息》2009年1月13日第7版(科学技术版)有一篇题为“生活中的数学”的报道:“【西班牙《先锋报》(2009年)1月4日文章】题:世界是数学的(作者皮耶尔乔治·M·山德里)数学在人们心目中始终是门令人头疼的学问.有位语言学家曾放言,没必要把数学算作技术科学,因为有计算器和电脑“代劳”.但是要知道,数学不仅仅是计算.我们身处的世界的很多现象只能通过数学原理来解释.正如伽里略所说的世界的法则是用数学的语言写就的.”“因为有计算器和电脑以及软件的‘代劳’数学就没有那么重要了”的看法是“普遍的！”解决办法：多给大学生，特别是一年级大学生做数学重要性、 为什么要学好数学的科普报告；多向各级领导做能够吸引他们的宣传、进言和具体建议组织参加过大学生数学建模竞赛的同学给学校领导谈体会.2.教师.特别是部分教高等数学的教师,对数学建模和数学软件缺乏了解、缺乏实践的机会,有点害怕,做了对自己不一定有好处,有各种各样的顾虑,没有充分意识到这既是挑战更是机会.解决办法:培训,特别是系主任一定要重视,要实实在在地落实;提供好的教学参考资料(可以出活页文选);教师自身要刻苦钻研,认真备课和讲课,做好教学研究;研究来选修微积分的学生所在专业后继课程教材中与微积分等有关内容,在讲课中灵活应用,告诉学生为什么一定要学好数学和数学建模.3.考研指挥棒.向有关部门建议今后考研应该加一道与数学建模有关的题,这道题应该包括两部分:什么是数学建模; 一个小的实际问题的数学建模的全过程,例如抵押贷款买房或易拉罐问题.分数可以不高,但是要达到每个考生都必须有准备. 《参考消息》2009年1月13日第7版(科学技术版) 希望大家批评指正!谢谢大家!